1. Piano di Gauss

Piano di Gauss

Richiamo: Fino ad ora abbiamo rappresentato x ∈ ℝ come un punto su di una retta orientata. x₁ x₂ x₀ ∈ ℝ

Il piano può essere rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano in cui si dispongano 2 rette orientate e ortogonali:

• Asse verticale = ordinate; y ↔ y'
• Asse orizzontale = ascisse; x ↔ x'

Il punto d'intersezione è chiamato origine 0.

Ogni punto del piano si scrive nella forma (x,y) ovvero una coppia ordinata di valori in ℝ:

• X ∈ ℝ: asse ascisse
• Y ∈ ℝ: asse ordinate

P₁(x₁, y₁) individua in modo univoco il punto nel piano.

Piano di Gauss e numeri complessi

Un numero complesso non è un numero in senso classico. Un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali.

ℂ è definito insieme dei numeri complessi:

z ∈ ℂ ⟺ z = (a, b) con a, b ∈ ℝ

ℂ = { z: z = (a, b) con a, b ∈ ℝ }

Definiamo un nuovo insieme ℂ. Posso definire nuovamente le operazioni:

• Non esiste il classico ordinamento definito in ℝ: Riduco a ordinamento tra ℝ, x ≧ y se x ≧ y_ℝ

Operazioni

Tra z, w ∈ ℂ con z = (a, b) e w = (c, d).

Somma

z + w = (a, b) + (c, d)

def=lambda (a, b) +(c, d)= (a+c, b+d)

Esempio:

z = (a, 0)

w = (-4, -3)

z + w = (a, 0) + (-4, -3) = (0, -3) = 3π.ppo

Proprietà

Valutazione: z + w ∈ ℂ

Dimostrazione: (a + c) è un numero reale. (b + d) è un numero reale.

ℂ: chiuso rispetto l'operazione di somma.

Es: ℝ è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione e sottrazione ma non è chiuso rispetto all'estrazione di radice.

Nota 1: La somma è commutativa. Tutte le proprietà ben note della somma in ℝ.

1 - Piano di Gauss

Richiamo: ℝ fino ad ora abbiamo rappresentato ℝ come un punto su di una retta orientata.

x₁ x₂ ℝ

•---------•---------•---------•---------•---------••----●-----------■-------------------⚫--------⚫-----• x₀ x₁ x₂

•---------•---------•---------•---------•---------• ℝ

2) Nel piano può essere rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano nel quale si dispongano 2 rette orientate ortogonali chiamate:

• Y: asse verticale o ordinata
• X: asse orizzontale o ascisse

Il punto d'intersezione è chiamato origine O.

Ogni punto del piano si scrive nella forma (x, y) ovvero una coppia o ordinata di valori in cui:

• X ∈ ℝ : asse ascisse
• Y ∈ ℝ : asse ordinate

P₁ (x₁, y₁) : rappresenta in modo univoco il punto nel piano.

P₄=(-4,3)

Piano di Gauss / Numeri complessi

Un numero complesso non è un numero in senso "classico". Un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali.

ℂ def: Insieme dei numeri complessi

ℂ := {(a,b) con a,b ∈ ℝ}

ℂ = ℝ :valore:

Operazioni

somma

Opera z = a+bi

a,b ∈ ℝ

somma

somma:somme, e e nodei numeri: (a+ c+b+d)

(a,b)+(c,d) defte la completa asso ordinaria di R

chiusd rispetto all'operazione di somma.

a ℝ

x ∈ ℝ

y ∈ y

prop prieta'

z=w=es z:valore

modo unico: 0=1 : h p: somma, moltiplicazione

defin in in s (0,-3);le numero

eviva e il adue note

Es:IR è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione ma non è chiuso rispetto alla sottrazione e al quoziente.

Oss 1:La somma tra le coordinate tutte le coppie di della gamma in IR

Oss 2:z = (a,b) + (c,0) + (0,b)

2 elementi che sommati danno z

Osservazioni ovvie ma fondamentali

Elemento neutro rispetto alla somma n_s = (n₁,n₂)

def ∀ z ∈ z = x + n_s = z z + n_s = z

Ovvio: (x_n, b) + (n₁, n₂) = (a+x, b+n_s) = (a,b)

x∈, n₁ = y - a = x∈_os; n = 0 ⇒ n_s = (0,0)

Es 3:

Ovvio: = (-3,4,1)

z = (0,0) = (-3,_s1) + (0,0) = (-3,4,1)

Proprietà

n_s è unico.

Per la somma (a+b) = (n_s+1)(a+b+n₂+1) = (a,b)

vero ⇒ b = 0

x yn_s = z, x = n_s → n_s = n(1