Topografia - Intersezioni in avanti

Le intersezioni in avanti sono di tre tipo:
1 intersezione in avanti
2 photeno
3 hansel

1. questa intersezione è la più semplice e posso anche evitare di spegarla, ma un breve riassunto non fa mai male.
esistono due tipi di intersezioni in avananti
* quella semplice
* quella multipla
La prima viene usata per determinare le coordinate di un punto P isolato ma visibile da due punti noti A e B di coordinate note e che a loro volta devono essere visibili reciprocamente.
l'intersezione in avanti viene utilizzata quando il punto isolato P è inaccessibile.
la procedura prevede le misure degli angoli PAB = alfa e PBA = beta
Elementi noti:
A;(Xa;Ya)
B:(Xb;Yb)
ELEMENTI MISURATI:
alfa e beta
INCOGNITE:
P:(Xp;Yp)
il disegno viene fatto come segue:

* nel piano cartesiano vengono disegnati (tramite coordinate) i 2 punti noti, tali punti vengono poi uniti.
* per trovare il punto P che non abbiamo le coordinate basta disegnare gli angoli alfa e beta che intersecati mi danno poi il punto P.
disegnato poi il triangolo si può passare alla risoluzione del triangolo stesso. I passaggi da seguire sono i seguenti:
AB= Xb-Xa/sen(AB)
(AB)= arcot Xb-Xa/Yb-Ya
(AP)= (AB)-alfa
AP= con il teorema dei seni= AB*sen beta/sen beta
per finire si trovano le coordinate di P
Xp= Xa+AP*sen(AP)
Yp= Ya+AP*sen(AP)
nelle formule l'unica cosa che cambia nel calcolo degli azimut è l0'aggiunta di 180° se siamo nel 2 quadrante e 360° se siamo nel quarto quadrante.

Applicazione Hansen
Dati: Misurati: α1, α2, β1, β2.
Tra i dati esiste la seguente relazione angolare:
φ+ψ=200-( α1-α2)=ω ; (c.1)
Applicando il teorema dei seni ai triangoli T1T2P, T1PQ, T2QP, si ottiene:
Moltiplicando tra di loro i primi e i secondo membri , si ottiene uguagliando e semplificando:
Ponendo a sistema le due equazioni (c.1) e (c.2) si ottiene il sistema non lineare (1) risolvibile con la (2).
ω =200-( α1-α2) ;

Photenot Snellius
Il problema di Snellius, detto anche intersezione inversa, è un tipico schema di determinazione della posizione di una stazione da cui si misurino le direzioni azimutali verso tre punti di coordinate planimetriche note.
In pratica per risolvere l'inquadramento mediante l'intersezione inversa, (ovvero determinare il punto stazione P ricavandone le coordinate e l'orientamento), è sufficiente conoscere le coordinate di tre punti (generalmente trigonometrici) ed effettuare la misura di due angoli. Ben si comprende come, in questo caso la misura degli angoli debba essere accuratissima ed effettuata con "Regola di Bessel" e la reiterazione delle misure.

Un fatto va sottolineato circa la forma dello schema geometrico: ci sono casi in cui la disposizione dei tre punti di appoggio e del punto incognito P genera un errore piuttosto importante.
Se si osserva il disegno sottostante si potrà notare che la posizione del punto P può essere definita dall'intersezione dei due cerchi. Nel caso in cui i due cerchi abbiano centro piuttosto ravvicinato e raggio simile la posizione del punto P verrà determinata con una notevole incertezza. Per evitare quanto sopra occorre studiare preliminarmente le operazioni di campagna in modo che la somma dei 3 angoli a, b e BMA differisca da un angolo piatto di almeno 50g, oppure, se si preferisce, che i punti A, M, B, P non giacciano tutti sullo stesso cerchio ma se ne allontanino sensibilmente. Con i moderni sistemi è evidentemente possibile effettuare un calcolo preliminare alle misure dell'errore temibile a seconda dello schema che si presenta e giudicare se tale errore sarà tollerabile.
Lo "Snellius" è stato per lungo tempo, prima dell'irrompere dell'elettronica nella topografia, una delle operazioni topografiche per effettuare l'inquadramento del rilievo entro un sistema cartografico.
Oggi l'intersezione inversa è sempre meno usata ed al suo posto vengono spesso utilizzati schemi di inquadramento di rete dove la misura delle distanze gioca un ruolo fondamentale.
L' utilizzo diffuso di schemi di inquadramento di rete (anche a livello del singolo Geometra) è senza dubbio dovuto al fatto di poter gestire al PC la gran mole di calcolo necessaria.
Evidentemente lo schema dell'intersezione inversa può essere applicato anche quando dal punto stazione si possano osservare più di tre punti di appoggio: in questo caso si potranno ottenere molteplici soluzioni ognuna con il suo peso per effettuare una media ponderata dei risultati.
La possibilità di utilizzare un notevole numero di misure sovrabbondanti in luogo della semplice risoluzione consente, inoltre, di mediare in maniera opportuna il risultato dell'inquadramento determinandone la precisione in ogni punto del suo scheletro.

Dati
A, M, B di coordinate note
a, b misurati

Incognite
Coordinate di P

Soluzione
Dato il segmento AM e l 'angolo a il punto P deve trovarsi sulla circonferenza con centro O'; parimenti dati segmento MB e angolo b, il punto P deve trovarsi sulla circonferenza con centro O'': il punto P deve essere alla intersezione delle due circonferenze con centro O' e O''.
Si costruisce il triangolo rettangolo AMC in cui l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto ed è il diametro del cerchio O'.
Si costruisce il triangolo rettangolo MBD in cui l'ipotenusa è il lato opposto all' angolo retto ed è il diametro del cerchio O''.
II triangoli PCM e PMD sono rettangoli in P in quanto la loro ipotenusa insiste sul diametro della circonferenza inscrivente.
P giace sul segmento di retta CD all'intersezione con un segmento perpendicolare tracciato da M.

Procedimento di calcolo
Calcolo coordinate di C per intersezione in avanti dai punti A e M.
Calcolo coordinate di D per intersezione in avanti dai punti M e B.
Calcolo dell'azimut CD
Calcolo dell'azimut MP
Calcolo coordinate di P per intersezione in avanti dai punti C e M (o M e D)