Soluzione Prima Prova Gara nazionale di Meccanica 2010

P1/ɣ = P0/ɣ - Ha – Ya .

P1 = P0 - ( Ha · ɣ ) - ( Ya · ɣ ) .

P1 = 101325 - ( 2,5 · 9810 ) – 19620 = 57810 Pa → 57,8 KPa .

Determiniamo, anche, la pressione del fluido all’ uscita ( P2 ) della girante :

P2/ɣ = P3/ɣ - Hm – Ym .

P2 = P3 - ( Hm · ɣ ) - ( Ym · ɣ ) .

P2 = 130000 + ( 18 · 9810 ) + ( 4 · 9810 ) = 345820 Pa → 345,8 KPa .

Calcoliamo la prevalenza manometrica Hu della pompa; punto C parte prima :

possiamo adottare due espressioni equivalenti per determinare Hu, il primo metodo consiste :

Hu = Hg + ( P3 – P0 ) / ɣ + ƩY .

Hu = ( Ha + Hm ) + ( P3 – P0 ) / ɣ + ( Ym + Ya ) .

Hu = ( 2,5 + 18 ) + ( 130000 – 101325 ) / 9810 + ( 4 + 19620 / 9810 ) = 29,4 m .

Oppure, una seconda espressione :

Hm = P2 – P1 / ɣ .

Hm = ( 345820 – 57810 ) / 9810 = 29,4 m .

Determiniamo il rendimento della pompa, punto D della prima parte :

ηр = Nc / Neff .

ηp = ( ɣ · Q · Hm ) / Neff · 1000 .

ηp = ( 9810 · 0.0236 · 29,4 ) / 8,6 · 1000 = 0,79 .

Verifica dell’ altezza di aspirazione; punto E prima parte:

dobbiamo soddisfare la seguente relazione:

NPSH ≤ P1/ɣ - ( Ha + Ya + ∆ha + V1²/2g + Pv/ɣ + ∆Za ) .

Definizione di alcuni termini non noti nel testo:

∆ha = margine di prevalenza, quota di sicurezza dell’ ordine di 0,5 m.

V1²/2g= altezza cinetica .

∆Za = perdita in aspirazione in funzione della temperatura dell’ acqua; nel nostro esempio ∆Za = 0,2 m.

Per cui, noti tutti i termini e sostiutendo alle incognite, possiamo determinare:

2,7 ≤ 101325/9810 – ( 2,5 + 2 + 0,5 + 3² / 2·9,81 +2000/9810 + 0.2 ) .

3

2,7 ≤ 10,3 – ( 2,5 + 2 + 0,5 + 0,46 + 0,2 + 0,2 ) .

2,7 ≤ 4,44.

La relazione risulta soddisfatta per cui l’ impianto è accettabile dal punto di vista del rischio cavitazione.

Per dimensionare l’ albero della girante, punto F parte seconda, determiniamo, dapprima, la velocità

angolare ed il momento torcente trasmesso all’ albero:

ω = 2 · π · n / 60 .

ω = 2 · π · 1450 / 60 = 151,8 rad / s .

Mt = Neff / ω .

Mt = 8600 / 151,8 = 56,65 Nm .

Successivamente, determiniamo, servendoci dello schema statico, le reazioni vincolari e i diagrammi del

momento flettente nei vari piani di sollecitazione; schema statico dell’ albero: Y

A B C D

Mr Mm

R2

G Mfx Piano Z -Y

R1

4 T

R3 Piano Z-X

Mfy

R4 Piano X-Y

Mtz

Calcoliamo le reazioni vincolari agenti sul piano Z-Y :

R1 = G · ( 194 + 147 ) / 147 .

R1 = 150 · 341 / 147 = 348 N .

R2 = R1 – G .

R2 = 348 – 150 = 198 N .

Determiniamo il momento flettente massimo Mfx :

Mfx = G · 194 .

Mfx = 150 · 194 = 29100 N mm .

Troviamo, nel piano Z-X, le reazioni vincolari R3 e R4 :

R3 = T · 75 / 147 .

R3 = 980 · 75 / 147 = 500 N .

R4 = R3 + G .

R4 = 500 + 980 = 1480 N .

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Determiniamo il momento flettente massimo Mfy :

Mfy = R3 · 147 .

Mfy = 500 · 147 = 73500 N mm .

Nel piano X-Y agisce il momento torcente Mtz :

Mtz = 56650 N mm .

Per la costruzione dell’ albero adotteremo un acciaio da cementazione 18NiCrMo5 bonificato con un carico

a rottura minimo ϬR=980 N/mm² , cementato perché, in corrispondenza dei due cuscinetti, prevederemo

due anelli di tenuta striscianti sulla superficie esterna dell’ albero. Altresi’, il materiale possiede un limite di

fatica alterna simmetrica ϬLf0=490 N/mm² . Assunto K= 0,6 e n= 3, la tensione ammissibile risulta:

Ϭadm = k · ϬLf0 / n .

Ϭadm = 0,6 · 490 / 3 = 98 N/mm² .

τadm = 0,576 · Ϭadm .

τadm = 0,576 · 98 = 56 N/mm² .

Determiniamo, in prima analisi, il diametro pieno della sezione A dell’ albero della girante; possiamo

considerare che il momento flettente sia trascurabile quasi nullo:

³ √

Da = 16 · Mtz / π · τadm

³ √

Da = 16 · 56650 / π · 56 = 17,3 mm .

Adottando, per l’ accoppiamento con il mozzo della girante, un profilo scanalato del tipo con appoggio

medio e centraggio interno UNI 221, dalla tabella si ricava un d = 18 mm, leggermente superiore al valore

calcolato in precedenza, ma favorevole ai criteri di resistenza, e un D = 22 mm, Z = 6.

Il valore da assegnare alla lunghezza del mozzo o dell’ albero scanalato, si ricava dalla seguente formula:

L = m · Ω · d / K .

Adotteremo per il coefficiente m il valore di 2,10, Ω = 0,42 e K = ( 1,25 · ϬR mozzo / ϬR albero );

considerando il materiale del mozzo della girante realizzato in ghisa G25, quindi meno resistente dell’

albero, con ϬR=900 N/mm² alla compressione, avremo per il coefficiente K un valore di:

k = 1,25 · ( 900 / 980 ) = 1,15 .

in conclusione, conoscendo tutti i coefficienti, possiamo determinare L:

L = 2,1 · 0,42 · 18 / 1,15 = 13,8 mm .

Per ragione di proporzionamento geometrico, adotteremo una lunghezza del tratto scanalato pari a:

L ≤ 1,5 · d .

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L = 1,5 · 18 = 27 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero in corrispondenza del supporto B.

Nel punto B, coesistono la sollecitazione di flessione, Mfx, con quella di torsione, Mtz, quindi il momento

flettente ideale corrisponde a:

√

Mfid = Mfx² + ¾ · Mtz² .

√

Mfid = 29100² + ¾ · 56650² = 57041 N mm .

Il diametro dell’ albero, nella sezione corrispondente a B, risulta:

³ √

Db = 32 · Mfid / π · Ϭadm .

³ √

Db = 32 · 57041 / π · 98 = 18 mm .

Negli alberi risulta spesso necessario limitare, oltre alle tensioni massime, anche le deformazioni. Al

riguardo, si impone di solito che la rotazione massima ϕmax sia:

tg ϕmax ≤ 0,52 / 1000 .

ϕ = 0.030 °

a cui corrisponde una freccia fmax pari a :

fmax = 194 · tg ϕ .

fmax = 194 · 0,5 · 10¯³ = 0.1 mm . ( in certi casi, specialmente con le ruote dentate, puo’ raggiungere

anche il valore di 0,03 mm ) .

Prima di iniziare a calcolare il diametro db , dobbiamo considerare che la girante del peso di 150 N e’

montata all’ estremità dell’ albero con una eccentricità e.

Quando l’ albero ruota, compare una forza centrifuga:

Fc = m · ω² · ( fmax + e ) .

Dove fmax e’ la freccia massima totale, somma di una freccia f1 dovuta al peso della girante e f2 dovuta alla

forza centrifuga.

La massima eccentricità ammessa per una girante di pompa, categoria G 6,3, per una frequenza di

rotazione di 1450 giri/min è di e = 0,045 mm .

Per cui la forza centrifuga che si genere alla rotazione di 1450 giri/min, considerando la freccia max, diviene

:

Fc = 15,3 · 151,8² · ( 0,1 · 10⁻³ + 0,045 · 10⁻³ ) = 51 N .

Questa è la forza che viene scaricata all’ estremità dell’ albero e si aggiunge al peso della girante G.

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La costante elastica K dell’ albero, cioè la forza richiesta nel punto dove si trova la massa della girante per

far nascere localmente una freccia unitaria, diviene :

K = G + Fc / fmax .

K = ( 150 + 51 ) / 0,1 = 2010 N / mm → 2010000 N / m .

trattandosi di un albero considerevolmente a sbalzo e incastrato tra due supporti, il diametro diverrà :

ricordando la formula della freccia per una trave incastrata tra due supporti ed una forza applicata ad un

estremo :

fmax = ( G + Fc ) · ( L1 + L2 ) L2² / E · J · 3 .

K = G + Fc / fmax .

K = E · J · 3 / ( L1 + L2 ) L2² .

K = E · π · Db⁴ · 3 / ( L1 + L2 ) L2² · 64 .

⁴ √

Db = 64 · ( L1 + L2 ) · L1² · K / π · 3 · E .

⁴ √

Db = 64 · ( 194 + 147 ) · 194² · 2010 / π · 3 · 205000 = 30,4 mm → 30 mm .

La velocità critica dell’ albero puo’ essere calcolata con la seguente formula :

√

ωc = k / m .

Nel nostro caso di carico concentrato all’ estremità e trave a sbalzo la rigidità vale :

k = 3 · E · π · d⁴ / ( L1 + L2 ) · L1² · 64 .

K = 3 · 205000 · π · 30⁴ / ( 194 + 147 ) · 194² · 64 = 1905 N / mm → 1905 · 10³ N / m .

Trascurando la massa dell’ albero, si perviene infine alla velocità critica:

√

ωc = 1905 · 10³ / 15,3 = 353 rad/s → 3369 giri/min .

Come criterio di larga massima si puo’ considerare la limitazione :

ωmax ≤ 0.75 ωc

Il valore trovato è decisamente accettabile, ridondante, dato che l’ albero ruota a 1450 giri/min.

Prima di assegnare definitivamente il diametro Db , facciamo una considerazione sulla forza centrifuga

generata dall’ eccentricità della massa .

Quando l’ albero ruota, compare, come dicevamo, una forza centrifuga:

Fc = m · ω² · ( f1 + f2 + e ) .

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Come dicevamo all’ inizio, f1 è la freccia generata dal peso della girante G, ed assume il valore di :

f 1 = G · ( L1 + L2 ) L2² · 64 / 3 · E · π · d⁴

f 1 = 150 · ( 194 + 147 ) · 194² · 64 / 3 · 205000 · π · 30⁴ = 0,079 mm .

Tra la forza centrifuga e la freccia f2 da essa prodotta vi è la correlazione di diretta proporzionalità per

mezzo del parametro di rigidità K dell’ albero :

K · f2 = m · ω² · ( f1 + f2 + e ) .

la quale permette di ricavare la freccia f2 di inflessione :

f2 = ( e + f1 ) · ( m · ω² ) / K – m · ω² .

Il regime di rotazione di 1450 giri/min comporta una freccia sotto carico pari a :

f2 = ( 0,045 · 10⁻³ + 0,079 · 10⁻³ ) · ( 15,3 · 151,8² ) / 1905 · 10³ - 15,3 · 151,8² = 2,8 · 10⁻⁵ m .

Come si nota, la freccia f2, trovata, è inferiore a quella f1 generata a causa del peso della girante; la loro

somma corrisponde all’ incirca alla freccia massima acconsentita di 0,1 mm .

Osservando lo schema dell’ albero della girante, e considerando che il supporto B dovrà alloggiare un

cuscinetto, e’ necessario assumere per l’ albero, in quel preciso punto, un diametro piu’ prossimo, in

eccesso, al diametro interno unificato di un cuscinetto radiale a sfere. Questo valore, ricavato dal manuale,

ricade su una dimensione di 30 mm ; valore identico a quello calcolato.

In base a questa scelta, il diametro Db, come prima analisi, corrisponderà a 30 mm .

Calcoliamo il diametro dell’ albero in corrispondenza del supporto C.

Nel punto C, coesistono la sollecitazione di flessione, Mfy, con quella di torsione, Mtz, quindi il momento

flettente ideale corrisponde a:

√

Mfid = Mfy² + ¾ · Mtz² .

√

Mfid = 73500² + ¾ · 56650² = 88370 N mm .

Il diametro dell’ albero, nella sezione corrispondente a C, risulta:

³ √

Dc = 32 · Mfid / π · Ϭadm .

³ √

Dc = 32 · 88370 / π · 98 = 21 mm .

Per le ragioni suddette, si impone di solito che la rotazione massima ϕmax sia :

ϕ = ϕ = 0.030 °

a cui corrisponde una freccia fmax pari a :

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fmax = 75 · tg ϕ .

fmax = 75 · 0,5 · 10¯³ = 0.0375 mm .

Per cui, trattandosi di un albero a sbalzo e incastrato tra due supporti, il diametro diverrà:

⁴ √

Dc = 64 · T · ( L2 + L3 ) · L3² / π · 3 · E · fmax .

⁴ √

Dc = 64 · 980 · ( 147 + 75 ) · 75² / π · 3 · 205000 · 0,0375 = 32,24 mm .

Ribadendo il concetto di prima, dato che, anche, il supporto C prevederà un cuscinetto, il diametro dell’

albero Dc adotterà un valore piu’ prossimo, in eccesso, al diametro interno unificato di un cuscinetto

radiale a sfere. Tale valore, ricavato dalle tabelle, è di 35 mm. Dato, che non abbiamo valutato l’ influenza

della forza centrifuga dovuta alla massa della puleggia, adottare un diametro maggiore incrementa i criteri

di rigidità dell’ estremità dell’ albero. Per cui, in via definitiva, assegneremo il diametro Dc = 35 mm ; per

questioni di simmetria, utilizzando i medesimi cuscinetti, adotteremo Db = 35 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero in corrispondenza del punto D.

In questo punto possiamo considerare il momento flettente trascurabile, pressochè nullo :

³ √

Dd’ = 16 · Mtz / π · τadm

³ √

Dd’ = 16 · 56650 / π · 56 = 17,3 mm .

Il diametro totale Dd, considerando la cava t1 per la linguetta, risulta :

Dd = Dd’ + t1 .

Dd = 17,3 + 3.5 ~ 21 mm .

Tuttavia, siccome, l’ albero prevederà un Dc = 35 mm, per questioni di costruzione adotteremo un Dd = 30

mm; questo favorisce, nonostante tutto, una maggiore rigidità della trasmissione.

La linguetta da adottare è la UNI 6607-A 8X7 per una lunghezza minima di :

L linguetta = 3/2 · T / b · τamm .

L linguetta = 3/2 · Mtz / r · b · τamm .

L linguetta = 3/2 · 56650 / 11 · 8 · 45 = 21,45 mm .

Adotteremo una lunghezza unificata di 32 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero all’ interno del tratto B-C .

In questo tratto esiste un punto, qualsiasi, dove coesistono, su due piani ortogonali, due momenti flettenti

Mfx e Mfy .

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