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Sintesi
Soluzione Prima Prova Gara nazionale di Meccanica 2010


Lo svolgimento del tema si articola con il calcolo della portata della pompa centrifuga, la pressione di ingresso e di uscita del fluido della girante, la prevalenza manometrica, il rendimento della pompa, e infine la verifica dell'altezza di aspirazione rispetto al rischio della cavitazione.
Nella seconda parte si procede al dimensionamento dell'albero della girante, servendosi degli schemi statici nei vari piani di sollecitazione, considerando non solo le tensioni ammissibili, ma anche le deformazioni massime consentite per il tipo di applicazione.
Successivamente, in funzione della rigidità dell'albero, si effettua una verifica della velocità critica dell'albero. Dopo aver stabilito tutti i diametri essenziali dell'albero, si effettua il dimensionamento della trasmissione mediante cinghie trapezoidali.

A cura di Luca Guarda.
Estratto del documento

P1/ɣ = P0/ɣ - Ha – Ya .

P1 = P0 - ( Ha · ɣ ) - ( Ya · ɣ ) .

P1 = 101325 - ( 2,5 · 9810 ) – 19620 = 57810 Pa → 57,8 KPa .

Determiniamo, anche, la pressione del fluido all’ uscita ( P2 ) della girante :

P2/ɣ = P3/ɣ - Hm – Ym .

P2 = P3 - ( Hm · ɣ ) - ( Ym · ɣ ) .

P2 = 130000 + ( 18 · 9810 ) + ( 4 · 9810 ) = 345820 Pa → 345,8 KPa .

Calcoliamo la prevalenza manometrica Hu della pompa; punto C parte prima :

possiamo adottare due espressioni equivalenti per determinare Hu, il primo metodo consiste :

Hu = Hg + ( P3 – P0 ) / ɣ + ƩY .

Hu = ( Ha + Hm ) + ( P3 – P0 ) / ɣ + ( Ym + Ya ) .

Hu = ( 2,5 + 18 ) + ( 130000 – 101325 ) / 9810 + ( 4 + 19620 / 9810 ) = 29,4 m .

Oppure, una seconda espressione :

Hm = P2 – P1 / ɣ .

Hm = ( 345820 – 57810 ) / 9810 = 29,4 m .

Determiniamo il rendimento della pompa, punto D della prima parte :

ηр = Nc / Neff .

ηp = ( ɣ · Q · Hm ) / Neff · 1000 .

ηp = ( 9810 · 0.0236 · 29,4 ) / 8,6 · 1000 = 0,79 .

Verifica dell’ altezza di aspirazione; punto E prima parte:

dobbiamo soddisfare la seguente relazione:

NPSH ≤ P1/ɣ - ( Ha + Ya + ∆ha + V1²/2g + Pv/ɣ + ∆Za ) .

Definizione di alcuni termini non noti nel testo:

∆ha = margine di prevalenza, quota di sicurezza dell’ ordine di 0,5 m.

V1²/2g= altezza cinetica .

∆Za = perdita in aspirazione in funzione della temperatura dell’ acqua; nel nostro esempio ∆Za = 0,2 m.

Per cui, noti tutti i termini e sostiutendo alle incognite, possiamo determinare:

2,7 ≤ 101325/9810 – ( 2,5 + 2 + 0,5 + 3² / 2·9,81 +2000/9810 + 0.2 ) .

3

2,7 ≤ 10,3 – ( 2,5 + 2 + 0,5 + 0,46 + 0,2 + 0,2 ) .

2,7 ≤ 4,44.

La relazione risulta soddisfatta per cui l’ impianto è accettabile dal punto di vista del rischio cavitazione.

Per dimensionare l’ albero della girante, punto F parte seconda, determiniamo, dapprima, la velocità

angolare ed il momento torcente trasmesso all’ albero:

ω = 2 · π · n / 60 .

ω = 2 · π · 1450 / 60 = 151,8 rad / s .

Mt = Neff / ω .

Mt = 8600 / 151,8 = 56,65 Nm .

Successivamente, determiniamo, servendoci dello schema statico, le reazioni vincolari e i diagrammi del

momento flettente nei vari piani di sollecitazione; schema statico dell’ albero: Y

A B C D

Mr Mm

R2

G Mfx Piano Z -Y

R1

4 T

R3 Piano Z-X

Mfy

R4 Piano X-Y

Mtz

Calcoliamo le reazioni vincolari agenti sul piano Z-Y :

R1 = G · ( 194 + 147 ) / 147 .

R1 = 150 · 341 / 147 = 348 N .

R2 = R1 – G .

R2 = 348 – 150 = 198 N .

Determiniamo il momento flettente massimo Mfx :

Mfx = G · 194 .

Mfx = 150 · 194 = 29100 N mm .

Troviamo, nel piano Z-X, le reazioni vincolari R3 e R4 :

R3 = T · 75 / 147 .

R3 = 980 · 75 / 147 = 500 N .

R4 = R3 + G .

R4 = 500 + 980 = 1480 N .

5

Determiniamo il momento flettente massimo Mfy :

Mfy = R3 · 147 .

Mfy = 500 · 147 = 73500 N mm .

Nel piano X-Y agisce il momento torcente Mtz :

Mtz = 56650 N mm .

Per la costruzione dell’ albero adotteremo un acciaio da cementazione 18NiCrMo5 bonificato con un carico

a rottura minimo ϬR=980 N/mm² , cementato perché, in corrispondenza dei due cuscinetti, prevederemo

due anelli di tenuta striscianti sulla superficie esterna dell’ albero. Altresi’, il materiale possiede un limite di

fatica alterna simmetrica ϬLf0=490 N/mm² . Assunto K= 0,6 e n= 3, la tensione ammissibile risulta:

Ϭadm = k · ϬLf0 / n .

Ϭadm = 0,6 · 490 / 3 = 98 N/mm² .

τadm = 0,576 · Ϭadm .

τadm = 0,576 · 98 = 56 N/mm² .

Determiniamo, in prima analisi, il diametro pieno della sezione A dell’ albero della girante; possiamo

considerare che il momento flettente sia trascurabile quasi nullo:

³ √

Da = 16 · Mtz / π · τadm

³ √

Da = 16 · 56650 / π · 56 = 17,3 mm .

Adottando, per l’ accoppiamento con il mozzo della girante, un profilo scanalato del tipo con appoggio

medio e centraggio interno UNI 221, dalla tabella si ricava un d = 18 mm, leggermente superiore al valore

calcolato in precedenza, ma favorevole ai criteri di resistenza, e un D = 22 mm, Z = 6.

Il valore da assegnare alla lunghezza del mozzo o dell’ albero scanalato, si ricava dalla seguente formula:

L = m · Ω · d / K .

Adotteremo per il coefficiente m il valore di 2,10, Ω = 0,42 e K = ( 1,25 · ϬR mozzo / ϬR albero );

considerando il materiale del mozzo della girante realizzato in ghisa G25, quindi meno resistente dell’

albero, con ϬR=900 N/mm² alla compressione, avremo per il coefficiente K un valore di:

k = 1,25 · ( 900 / 980 ) = 1,15 .

in conclusione, conoscendo tutti i coefficienti, possiamo determinare L:

L = 2,1 · 0,42 · 18 / 1,15 = 13,8 mm .

Per ragione di proporzionamento geometrico, adotteremo una lunghezza del tratto scanalato pari a:

L ≤ 1,5 · d .

6

L = 1,5 · 18 = 27 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero in corrispondenza del supporto B.

Nel punto B, coesistono la sollecitazione di flessione, Mfx, con quella di torsione, Mtz, quindi il momento

flettente ideale corrisponde a:

Mfid = Mfx² + ¾ · Mtz² .

Mfid = 29100² + ¾ · 56650² = 57041 N mm .

Il diametro dell’ albero, nella sezione corrispondente a B, risulta:

³ √

Db = 32 · Mfid / π · Ϭadm .

³ √

Db = 32 · 57041 / π · 98 = 18 mm .

Negli alberi risulta spesso necessario limitare, oltre alle tensioni massime, anche le deformazioni. Al

riguardo, si impone di solito che la rotazione massima ϕmax sia:

tg ϕmax ≤ 0,52 / 1000 .

ϕ = 0.030 °

a cui corrisponde una freccia fmax pari a :

fmax = 194 · tg ϕ .

fmax = 194 · 0,5 · 10¯³ = 0.1 mm . ( in certi casi, specialmente con le ruote dentate, puo’ raggiungere

anche il valore di 0,03 mm ) .

Prima di iniziare a calcolare il diametro db , dobbiamo considerare che la girante del peso di 150 N e’

montata all’ estremità dell’ albero con una eccentricità e.

Quando l’ albero ruota, compare una forza centrifuga:

Fc = m · ω² · ( fmax + e ) .

Dove fmax e’ la freccia massima totale, somma di una freccia f1 dovuta al peso della girante e f2 dovuta alla

forza centrifuga.

La massima eccentricità ammessa per una girante di pompa, categoria G 6,3, per una frequenza di

rotazione di 1450 giri/min è di e = 0,045 mm .

Per cui la forza centrifuga che si genere alla rotazione di 1450 giri/min, considerando la freccia max, diviene

:

Fc = 15,3 · 151,8² · ( 0,1 · 10⁻³ + 0,045 · 10⁻³ ) = 51 N .

Questa è la forza che viene scaricata all’ estremità dell’ albero e si aggiunge al peso della girante G.

7

La costante elastica K dell’ albero, cioè la forza richiesta nel punto dove si trova la massa della girante per

far nascere localmente una freccia unitaria, diviene :

K = G + Fc / fmax .

K = ( 150 + 51 ) / 0,1 = 2010 N / mm → 2010000 N / m .

trattandosi di un albero considerevolmente a sbalzo e incastrato tra due supporti, il diametro diverrà :

ricordando la formula della freccia per una trave incastrata tra due supporti ed una forza applicata ad un

estremo :

fmax = ( G + Fc ) · ( L1 + L2 ) L2² / E · J · 3 .

K = G + Fc / fmax .

K = E · J · 3 / ( L1 + L2 ) L2² .

K = E · π · Db⁴ · 3 / ( L1 + L2 ) L2² · 64 .

⁴ √

Db = 64 · ( L1 + L2 ) · L1² · K / π · 3 · E .

⁴ √

Db = 64 · ( 194 + 147 ) · 194² · 2010 / π · 3 · 205000 = 30,4 mm → 30 mm .

La velocità critica dell’ albero puo’ essere calcolata con la seguente formula :

ωc = k / m .

Nel nostro caso di carico concentrato all’ estremità e trave a sbalzo la rigidità vale :

k = 3 · E · π · d⁴ / ( L1 + L2 ) · L1² · 64 .

K = 3 · 205000 · π · 30⁴ / ( 194 + 147 ) · 194² · 64 = 1905 N / mm → 1905 · 10³ N / m .

Trascurando la massa dell’ albero, si perviene infine alla velocità critica:

ωc = 1905 · 10³ / 15,3 = 353 rad/s → 3369 giri/min .

Come criterio di larga massima si puo’ considerare la limitazione :

ωmax ≤ 0.75 ωc

Il valore trovato è decisamente accettabile, ridondante, dato che l’ albero ruota a 1450 giri/min.

Prima di assegnare definitivamente il diametro Db , facciamo una considerazione sulla forza centrifuga

generata dall’ eccentricità della massa .

Quando l’ albero ruota, compare, come dicevamo, una forza centrifuga:

Fc = m · ω² · ( f1 + f2 + e ) .

8

Come dicevamo all’ inizio, f1 è la freccia generata dal peso della girante G, ed assume il valore di :

f 1 = G · ( L1 + L2 ) L2² · 64 / 3 · E · π · d⁴

f 1 = 150 · ( 194 + 147 ) · 194² · 64 / 3 · 205000 · π · 30⁴ = 0,079 mm .

Tra la forza centrifuga e la freccia f2 da essa prodotta vi è la correlazione di diretta proporzionalità per

mezzo del parametro di rigidità K dell’ albero :

K · f2 = m · ω² · ( f1 + f2 + e ) .

la quale permette di ricavare la freccia f2 di inflessione :

f2 = ( e + f1 ) · ( m · ω² ) / K – m · ω² .

Il regime di rotazione di 1450 giri/min comporta una freccia sotto carico pari a :

f2 = ( 0,045 · 10⁻³ + 0,079 · 10⁻³ ) · ( 15,3 · 151,8² ) / 1905 · 10³ - 15,3 · 151,8² = 2,8 · 10⁻⁵ m .

Come si nota, la freccia f2, trovata, è inferiore a quella f1 generata a causa del peso della girante; la loro

somma corrisponde all’ incirca alla freccia massima acconsentita di 0,1 mm .

Osservando lo schema dell’ albero della girante, e considerando che il supporto B dovrà alloggiare un

cuscinetto, e’ necessario assumere per l’ albero, in quel preciso punto, un diametro piu’ prossimo, in

eccesso, al diametro interno unificato di un cuscinetto radiale a sfere. Questo valore, ricavato dal manuale,

ricade su una dimensione di 30 mm ; valore identico a quello calcolato.

In base a questa scelta, il diametro Db, come prima analisi, corrisponderà a 30 mm .

Calcoliamo il diametro dell’ albero in corrispondenza del supporto C.

Nel punto C, coesistono la sollecitazione di flessione, Mfy, con quella di torsione, Mtz, quindi il momento

flettente ideale corrisponde a:

Mfid = Mfy² + ¾ · Mtz² .

Mfid = 73500² + ¾ · 56650² = 88370 N mm .

Il diametro dell’ albero, nella sezione corrispondente a C, risulta:

³ √

Dc = 32 · Mfid / π · Ϭadm .

³ √

Dc = 32 · 88370 / π · 98 = 21 mm .

Per le ragioni suddette, si impone di solito che la rotazione massima ϕmax sia :

ϕ = ϕ = 0.030 °

a cui corrisponde una freccia fmax pari a :

9

fmax = 75 · tg ϕ .

fmax = 75 · 0,5 · 10¯³ = 0.0375 mm .

Per cui, trattandosi di un albero a sbalzo e incastrato tra due supporti, il diametro diverrà:

⁴ √

Dc = 64 · T · ( L2 + L3 ) · L3² / π · 3 · E · fmax .

⁴ √

Dc = 64 · 980 · ( 147 + 75 ) · 75² / π · 3 · 205000 · 0,0375 = 32,24 mm .

Ribadendo il concetto di prima, dato che, anche, il supporto C prevederà un cuscinetto, il diametro dell’

albero Dc adotterà un valore piu’ prossimo, in eccesso, al diametro interno unificato di un cuscinetto

radiale a sfere. Tale valore, ricavato dalle tabelle, è di 35 mm. Dato, che non abbiamo valutato l’ influenza

della forza centrifuga dovuta alla massa della puleggia, adottare un diametro maggiore incrementa i criteri

di rigidità dell’ estremità dell’ albero. Per cui, in via definitiva, assegneremo il diametro Dc = 35 mm ; per

questioni di simmetria, utilizzando i medesimi cuscinetti, adotteremo Db = 35 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero in corrispondenza del punto D.

In questo punto possiamo considerare il momento flettente trascurabile, pressochè nullo :

³ √

Dd’ = 16 · Mtz / π · τadm

³ √

Dd’ = 16 · 56650 / π · 56 = 17,3 mm .

Il diametro totale Dd, considerando la cava t1 per la linguetta, risulta :

Dd = Dd’ + t1 .

Dd = 17,3 + 3.5 ~ 21 mm .

Tuttavia, siccome, l’ albero prevederà un Dc = 35 mm, per questioni di costruzione adotteremo un Dd = 30

mm; questo favorisce, nonostante tutto, una maggiore rigidità della trasmissione.

La linguetta da adottare è la UNI 6607-A 8X7 per una lunghezza minima di :

L linguetta = 3/2 · T / b · τamm .

L linguetta = 3/2 · Mtz / r · b · τamm .

L linguetta = 3/2 · 56650 / 11 · 8 · 45 = 21,45 mm .

Adotteremo una lunghezza unificata di 32 mm .

Calcolo del diametro dell’ albero all’ interno del tratto B-C .

In questo tratto esiste un punto, qualsiasi, dove coesistono, su due piani ortogonali, due momenti flettenti

Mfx e Mfy .

10

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