Macchine a fluido - Richiami teorici essenziali e Esercizi

S TA T I CADEI L I Q

UI D

I

Parametri della idrostatica sono:

La massa volumica o densità è data dal rapporto della massa e il volume occupato

3

(rho) m = massa del fluido in kg, V = volume in m

m kg

  3

V m

Volume specifico è l’inverso della densità è rappresenta il volume occupato da 1 kg di

3

fluido v = 1/ρ (m /kg) 3 3

La densità dell’acqua è1000 kg/m il volume specifico 0.001 m /kg

Peso volumico è data dal rapporto del peso e il volume occupato 3

(gamma) peso del fluido in N, V = volume in m γ=ρ·g

g

Peso m

  

N 3

V V m

Viscosità è la forza di attrito che nasce

tra due strati vicinissimi di fluido.

2

[N·s/m ]

h

F

  

A v

Pr e ss i one i dros t a tic a

A partire dal pelo libero del liquido in recipiente e

scendendo verso il basso, si aggiunge il peso della

colonna di liquido sovrastante per cui il valore della

pressione ad una profondità h vale:

p = Peso/Area = γ·V/A = γ·A·h/A = γ·h

2

p=γ·h [N/m ] = Pa dove: h = profondità in metri

Pr e ss i one a t m

osf e

r ic

a

La pressione atmosferica fu misurata dal fisico Torricelli che utilizzò un tubo di vetro alto

circa 1m e pieno di mercurio. Capovolgendo il tubo dentro una bacinella contenente

anch’essa del mercurio, Torricelli osservò, che il livello nel tubo chiuso si stabilizzava a 760

mm dal livello della bacinella. Essendo la bacinella aperta ed esposta alla pressione dell’aria,

questa equivaleva a quella prodotta dalla colonna di mercurio.

3

densità del mercurio: ρ = 13590 kg/m

m

la pressione atmosferica vale: 2

p = γ·h = 13590·9,8·0,76 = 101.300 Pa (N/m ) 5

Per ragioni pratiche si usa il bar che corrisponde a 100000 Pa bar=10 Pa.

La pressione atmosferica si può misurare anche in metri di colonna d’acqua ottenendo lo 3

stesso valore di pressione, da cui ricordando che il peso volumico dell’acqua è 9810 N/m

si ottiene: h = p /γ = 101300/9810 = 10,33 m

a atm a

Pr e ss i one a sso l u t

a e r el

a ti

va

A partire dal pelo libero del liquido in recipiente e scendendo verso il basso, oltre al

peso dell’atmosfera, si aggiunge il peso della colonna di liquido sovrastante per cui il

valore complessivo della pressione ad una profondità h vale:

p = γ·h + p questa rappresenta la pressione idrostatica assoluta.

atm

La pressione dei recipienti in generale si misura in bar e viene chiamata pressione relativa o

manometrica. Ovviamente risulta: p = p + p

assoluta relativa atm

Sp i n t

a i

dros ta t ic a

La pressione idrostatica su una superficie sommersa produce una forza che si chiama

spinta idrostatica.

Il valore della spinta idrostatica si calcola con S=p ·Area

med

1) Superficie disposta orizzontalmente

p =γ·h S= γ·h·a·b

med

2) Superficie disposta verticalmente p =γ·h/2

med

h h

2 [N]

A  b h  



S

p b

m 2 2

3) Superficie non affiorante p =(γ·h +γ·h )/2

med 1 2



S (h h ) [N]

1 2

  

A

p m A 2

Pr i n ci p i d e l l

a i

dros t ati c a

Dei vasi comunicanti dice che in un sistema di vasi collegati idraulicamente fra di loro

il livello del liquido è lo stesso indipendentemente da forma e profondità.

Di Pascal dice che la pressione esercitata in un punto qualunque della massa liquida in

un contenitore chiuso e di qualsiasi forma, si trasmette con eguale intensità ad ogni punto

del liquido e perpendicolarmente alla superficie.

Di Archimede dice che un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso

l’alto pari al peso del liquido da esso spostato. La spinta è applicata nel baricentro della

parte immersa.

S = γ ·V

liq S

P = γ ·V

corpo

Il corpo può galleggiare (γ >γ ),

l c

affondare (γ <γ ) o essere in equilibrio

l c

(γ =γ )

l c P

Considerazioni sulla stabilità dell’equilibrio di

un corpo galleggiante

E s

e r c iz i

1. La pressione esercitata da una colonna d’acqua pari a 3.5 m, a quanti Pascal, bar, mm di Hg

corrispondono? 5 3 3

Ricordando che 1bar = 10 Pascal, γ =9810 N/m , γ =136000 N/m

a m

la pressione espressa in metri di acqua o in millimetri di mercurio deve essere

comunque uguale per cui:

h 9810 3.5 34300Pa 0.343bar

p

γ ·h =γ ·h

a a m m

h = γ ·h γ = 9810·3.5/136000 = 0.25 m = 250 mm di Hg

m a a/ m

2. Calcolare la pressione in bar del cuore umano (diastolica, sistolica). Che valori segna lo

sfigmomanometro a polso, se la pressione si misura 20 cm sotto il livello del cuore.

3. Si abbia il recipiente d’acqua sotto rappresentato e si

vuol sapere quanto vale la spinta sulla superficie

non affiorante. h =2 m, h =10m, larghezza b=2m.

1 2

Nel nostro caso, essendo la superficie verticale la

pressione su di essa non è costante per cui

occorrerà considerare il valore medio della

pressione. h  

γ(h ) 9810 ( 2 1 0 ) N

1 2

   

p 58860 Pa

m 2

2 2 m

2

L’area risulta A=a·b=8·2=16 m

per qui:

p A 58860 16 941760

S N

med

MO

T OD E I F

LUI D

I-I D

R O

DI N

A M

ICA

Facciamo riferimento ad un fluido ideale e ad una corrente stazionaria.

Un fluido è ideale quando non ha attriti interni né esterni; la corrente è stazionaria quando la

velocità in un determinato punto è sempre costante indipendentemente dal tempo.

Si definisce condotta l’insieme delle pareti che guidano il fluido nel suo moto. Vena fluida

è il condotto di forma qualsiasi nel quale si muove il liquido.

Si distinguono 2 regimi di moto:

1) Laminare (i filetti del fluido non si intersecano)

2) Turbolento (i filetti del fluido si intersecano) d

v

R

La distinzione tra due regimi lo fa il numero di Reynolds e 



v è la velocità del fluido in m/s

d è il diametro del tubazione in m -6

ν è la viscosità cinematica ν =1·10

(nu) acqua

μ =ρ·ν è la viscosità dinamica

(mu)

Se R <2500 il moto del fluido è laminare

e

Se R >5000 il moto del fluido è

e

turbolento

Normalmente il moto nelle tubazioni ordinarie è sempre turbolento

E qu a zi one di c

on ti

n u it à

Consideriamo una vena fluida percorsa da un fluido ideale in condizione di corrente

stazionaria.

Por ta

t a vo l

u m et

r i c a o portata si chiama il volume che attraversa una sezione generica

3

V m



Q

perpendicolare all’asse della tubazione nel unità di in

t s

tempo.

Il fluido attraversa la sezione 1 e dopo un tempo t in secondi arriva alla sezione 2.



A s

V  A 



Q v t

t

La portata rimane costante allora:

Q=A·v Q=A ·v =A ·v

1 1 2 2

No t

a La velocità è quella media perché la distribuzione della velocità nella condotta non è

uniforme, ma parabolica (da 0 a contatto con la tubazione fino al massimo nel centro della

tubazione.

La velocità è inversamente proporzionale alla sezione della condotta. Da notare che la

dipendenza dal diametro della tubazione è quadratica infatti se il diametro raddoppia la

velocità risulta 4 volte inferiore, se triplica la velocità è 9 volte inferiore.

T e

or e m a di B e

rnou ll

i o di c

ons e

rv a z i

one

d e ll

’ e n e

r g i

a

L’energia totale posseduta da una piccola

massa m [kg] di liquido “ideale” in una sezione

1, non essendo attrito, né macchine inserite, è

costante anche nella sezione generica 2.

Energia della massa m risulta la somma

di:

Energie potenziale o geodetica E =m·g·z

p 2

Energia cinetica E =m·v /2

c

Energia di pressione E =p·V=p·m·g/γ

i

Quindi l’energia totale della massa unitaria per il teorema di conservazione dell’energia è

costante per cui riducendo con m·g risulta in termini di altezza di colonna d’acqua:

p v cos

p

oppure t.

2

2

v

  

1 1 p

z 2  

v z

 

2 2

z   

2g 2g 2g

1 2

che rappresenta il teorema di Bernoulli nel

S.I For m u l

a di T orr ic e ll i

Permette di calcolare la velocità di efflusso di un liquido da un

boccaglio. E’ derivata dalla applicazione del teorema di Bernoulli

considerando che:

p =p =p , v ~0, z -z =h allora: 

v 2gh

1 2 atm 1 2 1 2gh dove il coefficiente di forma (psi) ψ=045÷0.95



v

Realmente risulta

F l u i

do r eal

e

La presenza di attrito fluido tubazione causa perdite di energia che si chiamano perdite di

carico. Queste si dividono in perdite distribuite o continue e perdite concentrate o

localizzate; entrambe le perdite dipendono dalla velocità al quadrato che quindi incide

pesantemente sulle stesse.

Perdite di carico distribuite (o continue) sono dovute all’attrito

interno tra le particelle del fluido e le pareti della condotta.

Si calcolano con la formula di Darcy

2

Q 3

[m] dove: Q = portata volumetrica (m /s)



Y L

d 5

D L = lunghezza condotta (m)

0.000042

0.00164 

β (tubi in acciaio o ghisa)

D

D = diametro della condotta (m)

Perdite di carico concentrate (o localizzate) sono dovute all’attrito che si verifica nella

presenza di una discontinuità (valvola, saracinesca ecc.)

2

v 

 

Y k

Si calcolano con tipo di discontinuità (accidentalità)

c i

g

2

il coefficiente k assume valori

tabulati dipendenti dal

Considerando Y le perdite totali nelle tubazioni

Y Y

Y

(distribuite e concentrate) d c

l’equazione di Bernoulli risulta:

p p

2 2

v v

1    Y

2

1 2



z 

z

2g 2g

1 2

 

Restringimento brusco k=0,5

Allargamento brusco k=1

D ime ns i o n ame n t

o d el

l e t

ub a zi

oni

a) Velocità ottimale v = 1÷2 m/s

ot

Data la portata Q si trova l’area teorica A della

t

tubazione oppure direttamente il diametro teorico

D con:

t Q chediventa allora: D poi si sceglie quello commerciale.

2

D 

4

t

 Q

A 



t Q

v

v 4

ot ot v ot

b) Perdita di carico ottimale y = 0.005÷0.01 m/m

ot 

Q D

con β≈0.002 si ha: 

2 0.002



y 5 2

Q

5

D y ot

Esempio 3

Avendo una portata Q=400 l/s = 0.4 m /s avremo:

D 0.53 m

 

4 4

D

 

Q 0.4

 2

v 1.8

2

ot

   

0.002 Q 0.002 0.4



D

   0.5 m

5

y 0.01

ot

5

Idro m e t

r i a

Riguarda gli strumenti di misura della pressione, velocità e portata.

Pr e ss i one

I più comuni sono:

1) Manometri a molla tubolare

L’elemento a molla tubolare normalmente ha una

sezione ovale. La pressione del fluido di processo

agisce all’interno del tubo con una forza che tende a

spostarne l’estremità. L’entità di questo spostamento è

proporzionale alla pressione del fluido di processo.

Questo spostamento è trasmesso all’indice tramite il

movimento ad ingranaggi.

2) Manometri a membrana

La pressione del fluido provoca un piegamento della membrana che viene rilevato da

un’asta di trasmissione e portato al movimento.

La misura dello spostamento è proporzionale alla pressione da

misurare. L’elemento a membrana ha una costruzione più robusta

rispetto alla molla tubolare e pertanto il relativo manometro è meno

sensibile alle vibrazioni.

3) Manometri a liquido o

differenziale

Essi sono costituiti da un tubo ad U collegato ad

una estremità alla pressione p da misurare e l'altra è Δp=γ·h

aperta all'aria: nel tubo è contenuto un liquido

manometrico di densità:

V el o c

i t à e

por tat

a

La velocità del fluido in una tubazione può essere

ricavata con uno strumento denominato t

ubo di P it o t

costituito da un tubicino a forma di L aperto sui due

lati, che viene immerso nella corrente. Il fluido risale

nel tubo per due effetti: altezza dovuta alla

pressione dentro il tubo e altezza dovuta alla energia

cinetica del fluido (in termini di altezza di c.a)

p v h 

cosi v 2g(h ) 2gh

p

 

h 

2 

e h

1 2 1 2

 

2g

→ Q=v·A

Si abbia il v e

n t ur i met ro sotto indicato in cui il diametro maggiore D = 2d, la velocità

v =4 m/s, calcolare quanto sale il mercurio nel manometro differenziale H.

2

L’equazione di

continuità:

Q=v ·A =v ·A

1 1 2 2

da cui segue: 2



 2 

v d v  D

2 1

v =4v allora v =1 m/s

2 1 1 2 2

v

v

p

p

s 1 s 2  2 1

Dall’equazione di Bernoulli: 2g

γ l

Equilibrio p H(γ γ

p )

1 2 m l

: v

2 2

v γ

 2

H

Risolvendo si 

1 l

2g γ

γ

ha: m l

Allora:

4 0.061 61

m mm

2

1

2

 9810

H  9810

19.62 133000

Normalmente si risolve in funzione della velocità sapendo che v =m·v m=v /v =A /A è il

2 1 2 1 1 2

rapporto di strozzamento si trova:

poi la portata risulta: Q=A ·v