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Sintesi
Schede per imparare a risolvere le equazioni goniometriche ed esempi di esercizi svolti.

esercizi svolti di trigonometria

Estratto del documento

Laura Todisco Equazioni goniometriche

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

1. EQUAZIONI ELEMENTARI:

A FUNZIONE SENO:

=

™ − ≤ ≤

sin x m con 1 m 1

= + °

x arcsin m k360

1 = ° − + °

x 180 arcsin m k360

2

ESEMPIO:

1

=

sin x 2

= ° + °

x 30 k360

1 = ° + °

x 150 k360

2 =

™ sin(f (x)) sin(g(x))

= + ° = ° − + °

f (x) g(x) k360 o f (x) 180 g(x) k360

ESEMPIO:

+ ° = − °

sin(2x 30 ) sin(x 10 ) + ° = ° − − ° + °

+ ° = − ° + ° 2x 30 180 (x 10 ) k360

o

2x 30 x 10 k360

= − ° + ° = ° + °

o

x 40 k360 3x 160 k360

⎛ ⎞

160

= − ° + ° = ° + °

⎜ ⎟

x 40 k360 o x k120

2

1 ⎝ ⎠

3

FUNZIONE COSENO:

B = − ≤ ≤

™ cos x n 1 n 1

con

= ± + °

x arccos n k360

1/ 2

ESEMPIO:

1

=

cos x 2

= ± ° + °

x 60 k360

1/ 2 =

™ cos(f (x)) cos(g(x))

= ± + °

f (x) g(x) k360

ESEMPIO:

+ ° = − °

cos(2x 30 ) cos(x 10 )

+ ° = ± − ° + °

2x 30 (x 10 ) k360

+ ° = − ° + ° + ° = − + ° + °

o

2x 30 x 10 k360 2x 30 x 10 k360

= − ° + ° = − ° + °

o

x 40 k360 3x 20 k360

⎛ ⎞

20

= − ° + °

= − ° + ° ⎜ ⎟

x k120

x 40 k360 o 2

1 ⎝ ⎠

3

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Laura Todisco Equazioni goniometriche

FUNZIONE TANGENTE:

C =

™ ∈

tan x p con p

= + °

x arctan p k180

:

ESEMPIO

3

=

tan x 3

= ° + °

x 30 k180

=

™ tan(f (x)) tan(g(x))

= + °

f (x) g(x) k180

:

ESEMPIO

+ ° = − °

tan(2x 30 ) tan(x 10 )

+ ° = − ° + °

2x 30 x 10 k180

= − ° + °

x 40 k180

2. EQUAZIONI CONTENENTI UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA:

Si effettua una sostituzione ponendo la funzione goniometrica uguale ad una nuova

incognita “t”.

ESEMPIO:

− + =

2

6sin x 13sin x 5 0

=

sin x t

Si pone e l’equazione diventa:

− + =

2

6t 13t 5 0

∆ = − = = 2

169 120 49 7

1

±

13 7 2

= =

t 1/ 2 5

12 3

1 5

= =

sin x o sin x (imposs.) eq. elementari.

2 3

3. EQUAZIONI RIDUCIBILI AD UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA:

Si utilizzano le relazioni fondamentali per trasformare le funzioni goniometriche presenti in

una sola di esse.

Ricordiamo le relazioni fondamentali:

⎧ = − → = ± −

⎪ 2 2 2

sin x 1 cos x sin x 1 cos x

• + = →

2 2 ⎨

sin x cos x 1 = − → = ± −

⎪⎩ 2 2 2

cos x 1 sin x cos x 1 sin x

sin x

• =

tan x cos x

1 cos x

• = =

cot anx tan x sin x

ESEMPIO:

= +

2

2 cos x 1 sin x www.matematicamente.it - 2 -

Laura Todisco Equazioni goniometriche

Evidentemente conviene cambiare il coseno i

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laura.todisco
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