Teoria dei Giochi:individualismo e cooperazione

Teoria dei giochi

“I don’t believe in luck. But I believe in assigning value to things”

(J. Nash)

A partire dalla Rivoluzione Scientifica di Galileo, l’umanità ha sempre cercato di razionalizzare ed applicare un metodo scientifico ad ogni aspetto del mondo e dell’esistenza. A partire dalla fisica degli aspetti più comuni, fino ai fenomeni macroscopici dell’universo e microscopici delle particelle, dalla sociologia alla psicanalisi sono state espresse leggi matematiche e relazioni scientifiche che legano le varie esperienze.

Coerentemente con questa incessante ricerca, verso la metà del XX secolo si è sentita la necessità di inserire in una schematizzazione scientifica anche i fenomeni di conflitto, dove per conflitto si può intendere qualsiasi situazione in cui un numero imprecisato di individui razionali si trovano in condizioni di perdere o guadagnare qualcosa in relazione alle proprie scelte operative e a quelle degli altri individui.

Esempi di competizioni spaziano dai semplici giochi di società (scacchi, dama, …) alle complesse strategie economiche e militari. La teoria che cerca di fornire dei metodi per la schematizzazione, la comprensione e la risoluzione di questi conflitti è la teoria dei giochi.

Origini della teoria dei giochi

La “teoria dei giochi” non ha una data di nascita ufficiale, in quanto fino a tempi molto recenti è stata considerata una branca relativamente poco importante della matematica applicata.

Il primo approccio assiomatico ad una situazione di conflitto risale al 1913, anno in cui il Teorema di Ernst Zermelo (in seguito assunto come postulato) elenca secondo un procedimento prettamente logico-matematico i possibili esiti di una partita a scacchi: vittoria, sconfitta o stallo.

L’ovvietà della conclusione non pregiudica l’importanza di questo passo, in quanto è la dimostrazione della possibilità di trattare scientificamente situazioni di questo genere.

Un passo avanti si ha col Teorema del MiniMax di John von Neumann nel 1928, successivamente ripreso nella prima opera che J. von Neumann presenta una trattazione completa di giochi, loro soluzioni ed applicazioni: “The Theory of Games and Economic Behavior” di J. von Neumann e Oskar Morgenstern scritta nel 1944.

Nel 1951 John Nash, membro della RAND Corporation, pubblica i propri risultati circa un equilibrio nei giochi non cooperativi, poi ribattezzato Equilibrio di Nash, che nel 1994 gli frutterà il Nobel per l’economia insieme a John Harsanyi e Reinhard Selten che negli anni successivi perfezionarono il suo lavoro.

Questi punti fondamentali segnano le origini della teoria che ancora oggi è in fase di studio e di sviluppo, per quanto si siano fatti grandi passi avanti e si sia giunti alla definizione di un gran numero di schemi J. Nash risolutivi di giochi più o meno complessi.

Utilità della teoria dei giochi

Sorge spontaneo porsi delle domande circa l’utilità di una disciplina di questo genere. In fondo i conflitti e i fenomeni sociali ad essi legati sono sempre stati studiati da un punto di vista empirico tramite la filosofia, l’economia, la politica, la storiografia, …; che vantaggio se ne trae aggiungendo una trattazione matematica?

Indubbiamente il metodo matematico consente il raggiungimento di risultati con un notevole grado di certezza, prima impensabile nelle trattazioni di filosofi ed economisti, mentre la semplificazione dei fenomeni sociali consente la creazione di modelli applicabili anche in condizioni apparentemente molto diverse.

Questa stessa semplificazione è però anche il punto debole della teoria che non è ancora in grado di assimilare completamente la complessità delle situazioni reali, lasciando ancora un forte margine all’intervento umano nella soluzione di un gioco.

Nella trattazione successiva si terranno in considerazione per motivi di praticità e maggior facilità di comprensione le versioni semplificate dei giochi.

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Terminologia e metodi

In primo luogo ritengo opportuno definire chiaramente alcuni punti chiave della terminologia e dei metodi della Teoria dei Giochi, che analizza alcune situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni (cooperative o non cooperative) attraverso modelli in cui le decisioni di un soggetto influiscono sui risultati conseguibili dal soggetto stesso e dagli altri soggetti.

Per gioco si intende l’insieme costituito da tutti i giocatori, dalle loro strategie e dai possibili payoff (cioè guadagni nell’applicare una determinata strategia in relazione alle scelte degli altri) e il numero delle volte in cui si gioca; matematicamente:

{ }

G = Π

N, S, Π, n

in cui N è l’insieme dei giocatori, S l’insieme delle strategie, Π è l’insieme dei payoff, n il numero delle volte in cui il gioco viene ripetuto.

Ciò definisce in modo univoco un gioco, differenziandolo da ogni altro e creando una situazione ben precisa. È facile comprendere la complessità di un gioco che comprenda numerosi giocatori, ciascuno in grado di scegliere all’interno di un esteso insieme di strategie che possono dare un gran numero di diverse combinazioni di payoff, ripetuto inoltre più volte, come può essere il gioco costituito da un intervento militare in un paese straniero ad esempio.

Payoff e funzione di utilità

I payoff, si è già detto, sono gli utili ricavati da ciascun giocatore in relazione alle scelte della partita.

La realizzazione pratica più immediata che viene alla mente di questo concetto è nel denaro: in un gioco di tipo economico si ha un guadagno in denaro o una perdita a seconda dell’evolversi della situazione.

Ma la teoria dei giochi preferisce lasciare gli utili in una forma indefinita. Infatti anche in un gioco prettamente economico, un giocatore pur perdendo denaro può guadagnare in immagine, oppure nonostante un guadagno apparente momentaneo, si può avere una perdita di capacità produttive o altro.

Per non parlare di altri giochi: con che metro si quantifica il guadagno di una mossa a scacchi o della conquista di una posizione strategica in guerra? Non certo col denaro che dunque risulta essere un’unità insufficiente.

La misura dell’utilità resta dunque astratta e solo a gioco risolto può essere riconvertita in termini materiali.

Dunque per ogni gioco viene definita una funzione:

u : S → V

che lega ogni gruppo di strategie ai relativi valori, in funzione del tempo. Uno stesso gruppo di strategie può infatti dare esiti diversi a seconda delle condizioni in cui si gioca, nonché a seconda della ripetizione del gioco a cui si è giunti.

Qui si nota l’importanza nella definizione di gioco del numero di volte per cui esso viene ripetuto. L’utile può anche assumere valori negativi.

Ad esempio in un gioco a due giocatori che possono ciascuno scegliere fra due diverse strategie, la funzione u può essere rappresentata in questo modo:

Giocatore 2

Strategia 1 | Strategia 2

Strategia A | -100, 100 | 30, 50

Giocatore 1 | Strategia B | 80, 10 | 100, -100

dove ciascuna coppia di valori indica nell’ordine il guadagno per il giocatore 1 e per il giocatore 2.

Strategie e lotterie

Le strategie sono le possibili scelte che ogni giocatore può compiere, individuando il risultato di quella determinata scelta in base alle attese sulle probabilità di scelta degli avversari e al valore dei payoff.

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Una strategia è dunque un piano completo e contingente che specifica come il giocatore debba comportarsi in ogni possibile circostanza in cui potrebbe essere chiamato a decidere.

Il valore di una strategia viene calcolato secondo la seguente relazione:

Sᵢ = Π Pⱼ

j = 1

in cui Sᵢ rappresenta il valore della strategia i (nell’esempio precedente, della strategia A o B), j la strategia dell’avversario, Πⱼ il payoff nel caso che l’avversario scelga la strategia j e Pⱼ la probabilità che ciò avvenga.

Ciò mette in evidenza come la probabilità che l’avversario faccia una determinata scelta influenza consistentemente il valore di una strategia.

Talvolta l’esito delle azioni è soggetto a qualche forma di incertezza che si risolve solo in seguito alla nostra scelta, senza lasciarci modo di modificare il nostro comportamento.

Questa situazione viene chiamata lotteria e viene risolta associando alla relativa strategia una funzione di utilità che tenga conto dell’incertezza, dando un valore perfino alla fortuna:

u = p · u(C₁) + (1 − p) · u(C₂)

dove C₁ e C₂ rappresentano i due possibili esiti della lotteria con probabilità p e 1-p.

Tali strategie sono dette strategie miste, mentre le strategie che hanno un esito ben determinato sono dette pure.

Classificazione dei giochi

Nel corso dello studio dei differenti giochi in base alla struttura del gioco stesso, o al modello necessario a rappresentare il conflitto, oppure alla soluzione che esso presenta, si è arrivati a classificare i giochi attraverso diversi criteri.

Tali criteri non si escludono a vicenda, ma esprimono caratteristiche presenti nel gioco. I giochi possono dunque essere:

• Cooperativi o non cooperativi
• A somma zero o a somma variabile
• Simultanei o sequenziali
• Non ripetuti o ripetuti
• Con giocatori razionali o meno
• A informazione completa o incompleta
• Finito o infinito

Un gioco è cooperativo quando è possibile una soluzione in cui i giocatori possano accordarsi per la scelta di determinate strategie in modo tale da ottenere ciascuno più di quanto guadagnerebbe non accordandosi con l’avversario.

Tipici giochi cooperativi sono quelli legati alle interazioni umane (società, economia, strategie militari,…), mentre un esempio di gioco non cooperativo sono gli scacchi o la dama.

Un gioco è a somma zero quando ciò che è guadagnato da un giocatore è automaticamente perso dall’avversario e viceversa; cioè quando la somma degli utili in campo è costante per ogni combinazione di strategie.

Una tipica situazione di questo tipo si ha nel momento in cui è in palio un premio che si può dividere o meno, ma di consistenza fissa.

La simultaneità o sequenzialità riguarda lo svolgersi del gioco, simultaneo se ogni giocatore è chiamato a fare le proprie scelte in contemporanea all’avversario, sequenziale se invece la propria mossa segue quella dell’altro giocatore.

Un gioco è ripetuto se giocato più di una volta con le stesse regole, per quanto i payoff possano però variare a seconda delle condizioni che di volta in volta si vengono a creare.

Riguardo ai giocatori razionali si rimanda al paragrafo 3.1 (Postulato di razionalità); è meglio però specificare che in presenza di giocatori irrazionali non è possibile giungere a soluzioni affidabili, dunque questi giochi non fanno parte della Teoria.

L’informazione è completa quando ogni giocatore in ogni momento del gioco è a conoscenza della situazione e delle strategie giocate fino a quel punto da sé e dall’avversario, potendo così studiare le possibili azioni proprie e reazioni avversarie a partire da un punto certo.

L’informazione incompleta è invece propria di quei giochi in cui non si conosce la situazione di gioco, oppure non si può risalire alle strategie giocate dall’avversario.

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Le interazioni militari sono normalmente a informazione incompleta, più difficili da trattare, ma allo scopo di renderle giochi a informazione completa ogni stato si è sempre munito di servizi d’informazione e spionaggio il più efficienti possibile.

Interessante applicazione teorica dei giochi a informazione incompleta sono gli scacchi invisibili, in cui ogni giocatore muove senza conoscere la posizione dei pezzi avversari sulla scacchiera, con la mediazione di un arbitro.

Un gioco si può ritenere finito quando giocato da un numero finito di giocatori per un tempo determinato.

Giochi infiniti sono quelli che studiano l’evolversi della società o delle scelte sul mercato di un’azienda, senza dunque avere un limite temporale, e considerando talvolta l’evoluzione dell’insieme dei giocatori, cioè l’abbandono o l’ingresso di qualche giocatore.

Rappresentazione dei giochi

Per lo studio dei modelli e della risoluzione di un gioco è necessario rappresentare le possibili azioni dei giocatori con i relativi payoff, in modo da rendere visibile l’evoluzione della partita.

Le rappresentazioni proposte dalla Teoria sono due:

• Forma normale, in cui viene rappresentata una tabella con le strategie e i relativi payoff. Viene usata soprattutto in giochi non ripetuti e simultanei, con un numero di giocatori piccolo.

G1

Cercare | Aspettare

Nascondersi | 50, -50 | -50, -50

G2 | Uscire | -100, 100 | 100, -100

• Forma estesa, è una rappresentazione ad albero in cui ogni nodo rappresenta la scelta di un giocatore che conduce a diverse possibili scelte successive degli altri giocatori. Viene normalmente usata in giochi sequenziali o ripetuti.

(-100; 100)

cerca

G1

esce (100; -100)

G2 aspetta (50; -50)

cerca

si nasconde G1 aspetta (-50; -50)

Postulati della teoria dei giochi

La teoria per poter essere costruita necessita dell’introduzione di alcune ipotesi a priori, che pur allontanandola per certi versi dalla realtà, consentono una trattazione che elimina del tutto le approssimazioni e fornisca una rigorosità matematica.

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Il primo postulato che viene introdotto è il postulato di razionalità individuale. Ciascuno dei giocatori agisce in modo tale da massimizzare il proprio guadagno, scegliendo la strategia che lo porta a ricevere il più possibile.

Inoltre ogni giocatore è portato a comportarsi in modo tale che u(Sᵢ) ≥ 0, cioè deve scegliere la strategia che gli fornisce un utile positivo o nullo, senza perdere nulla di ciò che aveva all’inizio.

Questo postulato presuppone che in mancanza di strategie che rendano realistico un utile non negativo, un giocatore si rifiuti di giocare e forzi il disaccordo.

Questo postulato apparentemente ovvio, non trova sempre riscontro nella realtà dei fatti, dove talvolta un soggetto è portato a scegliere strategie controproducenti per motivi affettivi, per scarsa intraprendenza, pigrizia o per mancanza di capacità.

Tali motivazioni sono prettamente soggettive e difficilmente inquadrabili in un modello matematico, per quanto valutazioni ristrette nei singoli casi possano permettere di tenerne conto nella risoluzione di un gioco, rendendole condizioni immutabili che a loro volta costituiscono un payoff e dunque facendole rientrare in un meccanismo razionale.

Questi postulati sono di carattere prettamente matematico e sono necessari ad assicurare la validità di alcuni teoremi e l’esistenza di determinate soluzioni. Sono fondamentalmente:

• Simmetria: il gioco è invariante rispetto a permutazioni degli agenti, cioè scambiando fra loro gli agenti, essi agirebbero nello stesso modo in cui avrebbe agito l’avversario prima dello scambio.
• Invarianza rispetto alle contrazioni: se una soluzione a è ritenuta accettabile in un gioco che ammette N come insieme delle opzioni dei giocatori, preso un gioco che ammette come opzioni un sottoinsieme Q di N, tale che la soluzione a appartenga anche a tale sottoinsieme, essa sarà accettabile per il secondo gioco.
• Invarianza rispetto alle trasformazioni di scala: è possibile rappresentare le funzioni utilità dei giocatori in modi diversi applicando trasformazioni di scala diverse, cioè riducendo il valore dei payoff ad una scala unica diversa da quella di partenza. Il postulato obbliga a scegliere una trasformazione che non modifichi le controimmagini delle funzioni utilità in relazione alla posizione delle immagini.

Postulato di Zermelo e teorema del minimax

Il postulato di Zermelo è stato introdotto dall’omonimo matematico e costituisce il primo tentativo di rendere assiomatico un gioco.

Esso prevede solo tre esiti per una partita a scacchi: vittoria, sconfitta, stallo.

Apparentemente ovvio, nella sua forma generale garantisce soluzione ad ogni gioco: esiste sempre un’utilità per ogni giocatore corrispondente ad un determinato insieme di strategie e tale utile sarà maggiore, minore o uguale a quello dell’avversario.

Non esiste un gioco per cui non sia possibile associare ad una strategia un valore. Il fatto che poi tale gioco sia giocabile o meno (vedi Postulato di razionalità) dipende dalle caratteristiche di tale utile.

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Formulato da J. von Neumann nel 1928.

Ipotesi: gioco a somma zero, strategie pure o miste

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Enunciato: Ogni gioco finito a somma costante possiede almeno un punto di equilibrio di minimax in strategie pure o miste.

Un punto di equilibrio di minimax è una combinazione di strategie tali che ciascun giocatore selezioni la strategia che fornisce il più alto dei valori minimi, mentre l’avversario è portato a scegliere la minima perdita fra quelle massime per ogni strategia.

Considerando due soli giocatori: max min u₁ = min max u₂

x ∈ S₁ ∀ y ∈ S₂ | y ∈ S₂ ∀ x ∈ S₁

min( ) 1 max( ) 2

cioè il primo giocatore per ogni strategia possibile x sceglie il payoff minimo e tra i payoff così selezionati sceglie quello maggiore, mentre il secondo giocatore calcola per ogni strategia y la perdita maggiore e fra queste sceglie la perdita minore.

Possiamo considerare come esempio un gioco a somma zero, di valore totale pari a 15, avente la seguente come tabella delle strategie e dei pay-off:

G1

Strategia 1 | Strategia 2

Strategia A | 7, -7 | (-8, 8) | 5, -5 | (-10, 10)

G2

Strategia B | 10, -10 | (-5, 5) | 0, 0 | (-15, 15)

I minimi guadagni per il giocatore 1 sono 7 per la strategia 1 e 0 per la strategia 2, tra essi il maggiore è 7.