Storia e fondamenti della matematica

Storia e fondamenti della matematica

Antonio Maida

1 Teorie matematiche

L’epistemologia (= discorso sulla conoscenza scientifica, o filosofia della scienza) che si

prefiggeva lo scopo di stabilire i canoni caratterizzanti la conoscenza scientifica rispetto alla

conoscenza in generale era originariamente considerata una disciplina più filosofica che scientifica.

Ha poi assunto sempre di più i connotati di una disciplina scientifica. Temi fondamentali

dell’epistemologia matematica, o più in generale dei fondamenti della matematica, concernono la

natura, l’organizzazione, la metodologia ed i criteri giustificativi della matematica stessa.

enti matematici

Sono considerati gli enti oggetto di studio di una qualunque teoria matematica.

Essi sono enti concreti (gli enti linguistici), ed enti astratti (gli insiemi, i numeri, gli enti

individui, relazioni funzioni

geometrici, ecc.). Gli enti sono poi classificabili in fra individui e di

individui in individui. Un insieme di individui è un universo.

In riferimento alla natura degli enti astratti sono rilevanti due punti di vista, e cioè il formalismo in

senso stretto che ne nega l’esistenza, ed il contenutismo che viceversa assume tale esistenza.

Per il formalismo il discorso matematico non ha un contenuto poiché verte su se stesso; e dunque la

matematica è un linguaggio. Per il contenutismo invece il discorso matematico ha un contenuto

non identificabile con gli enti linguistici; e dunque la matematica è una scienza. Il contenutismo si

è poi differenziato nel costruttivismo di (1823-1891, Legnica, Polonia)

Leopold Kronecker

secondo cui gli enti astratti sono un atto costitutivo della mente umana, e dunque la matematica è

una scienza costitutiva o anche la matematica è una invenzione; e nel platonismo logico di Georg

(1845-1918, San Pietroburgo, Russia) e (1848-1925, Wismar, Germania)

Cantor Gottlob Frege

secondo cui invece gli enti astratti non sono un atto costitutivo della mente umana, e dunque la

matematica è una scienza descrittiva o anche la matematica è una scoperta. Ø

In altri termini, il problema è, ad esempio, il confronto fra l’insieme vuoto ed il segno : mentre

Ø

, laddove per il costruttivismo l’insieme vuoto

per il formalismo l’insieme vuoto è solo il segno

Ø ed è una invenzione dell’uomo, per il platonismo infine l’insieme vuoto non è il

non è il segno

Ø

segno ed è una scoperta umana.

Il concetto di teoria matematica ha avuto varie interpretazioni. Si è così passati dalle teorie non

assiomatiche (teorie non formali e non assiomatiche), alle teorie semiassiomatiche (teorie non

formali ed assiomatiche), ed infine alle teorie assiomatiche (teorie formali, o sistemi formali). Fino

1870

al circa tutte le teorie matematiche, tranne la geometria di Euclide, erano concepite, in

teorie non assiomatiche, T=<U,Ver>

un’ottica platonistica, come come cioè coppie di un universo

U U,

Ver

di enti astratti pensati intuitivamente e di un insieme di enunciati veri in descriventi cioè

U.

le proprietà di Tali teorie erano non formali in quanto i loro enunciati vertevano su di un

U

contenuto, l’universo appunto; ed erano non assiomatiche in quanto il metodo seguito

U.

nell’inferire gli enunciati veri era quello semantico o induttivo, che faceva spesso riferimento ad

U.

Il criterio giustificativo era poi l’evidenza di Così, gli enunciati dell’Aritmetica descrivevano le

proprietà dell’universo dei numeri naturali, quelli dell’Analisi descrivevano le proprietà

dell’universo dei numeri reali, ecc. teoria

La geometria euclidea era viceversa organizzata semiassiomaticamente. In una

semiassiomatica T=<U,Teor>, partendo da un insieme di segni primitivi individuante il

U Ax

linguaggio degli enunciati vertenti su e da un insieme minimo di assiomi, di enunciati cioè

U,

considerati immediatamente veri in si definiscono successivamente ulteriori segni, ed applicando

U,

intuitivamente le regole della deduzione si deducono ulteriori enunciati veri in i teoremi,

Teor.

costituenti l’insieme In tale concezione il metodo utilizzato nell’inferire i teoremi è quello

U

sintattico o deduttivo, in base al quale il riferimento ad è solo iniziale, allorquando si stabiliscono

gli assiomi; il criterio giustificativo è quello semantico dell’evidenza dei soli assiomi. Ancora,

mentre nella teorie non assiomatiche il riferimento all’intuizione, o al contenuto, è sempre presente

con tutti i problemi che ciò puó comportare, nelle teorie semiassiomatiche viceversa tale riferimento

è presente, almeno in linea di principio, solo inizialmente allorquando si stabiliscono gli assiomi. Si

osservi che una teoria concepita semiassiomaticamente è comunque una teoria non formale, avendo

U

essa un contenuto, l’universo appunto.

GE

Il fascino di fece scaturire l’esigenza, non appena si risolse il millenario problema delle

parallele, di riformulare semiassiomaticamente le varie teorie non assiomatiche. Tale processo era

1931

fondato sulla convinzione, che sembrava plausibile ma che si rivelò errata nel col teorema di

incompletezza di (1906-1978, Brno, Cecoslovacchia), che fosse possibile riorganizzare

Kurt Gödel Ver=Teor.

semiassiomaticamente le varie teorie in modo da aversi Che fosse cioè possibile

individuare un numero minimo di assiomi in modo tale che i teoremi da essi inferibili fossero tutti e

U T

soli gli enunciati veri nell’universo che la pretendeva di descrivere. Tale problema di

completezza sintattica degli assiomi fu posto per la prima volta da Hilbert agli inizi del '900.

Per altri aspetti, l’utilizzo sempre maggiore a livello intuitivo nelle teorie semi assiomatiche di

nozioni logiche ed insiemistiche fece scaturire l’altra esigenza di considerare a se stanti e una logica

e una teoria degli insiemi.

La logica è una particolarissima teoria. Fra gli enunciati veri di una teoria vi sono quelli la cui

verità dipende solo dalla loro struttura interna o schema, e non piuttosto dall’universo che la teoria

vuol descrivere. Essi sono quelli logicamente veri, veri cioè in ogni possibile universo, e lo studio

di tali enunciati è appunto la Logica che, organizzata oggi come teoria assiomatica fondata su

assiomi logici e regole di dimostrazione, costituisce lo studio del metodo deduttivo stesso.

F

Nell’ottica delle considerazioni fatte vanno inquadrate la logica di Frege e la teoria degli insiemi

1870, 1899

C di Cantor sorte intorno al gli assiomi di Hilbert del costituenti una assiomatizzazione

GE, P (1858-1932, Cuneo) e

più completa di ed il sistema dei postulati di Giuseppe Peano

1901,

Dedekind del che è la prima versione semiassiomatica dell’aritmetica.

L’assiomatica euclidea era fondata sul criterio dell’evidenza degli assiomi, della conoscenza cioè

modello di Klein 1872

di un modello dei medesimi. La scoperta col del delle geometrie non

euclidee, legata alla già citata soluzione del problema delle parallele, mise in rilievo l’arbitrarietà

del criterio dell’evidenza. Esso fu sostituito nell’assiomatica moderna dal criterio della coerenza,

dell’inesistenza cioè di antinomie derivabili dagli assiomi.

La scelta del criterio della coerenza fu motivata da vari fattori. Anzitutto l’incoerenza di una teoria

assiomatica implica, da una parte l’inesistenza di un suo modello per cui i suoi enunciati vertono su

nulla, da un’altra parte la sua banalizzazione completa poiché in una teoria incoerente è

dimostrabile tutto. In secondo luogo la coerenza equivale comunque all’esistenza di un modello

anche se recondito.

Il cambiamento della concezione di assiomatica fece perciò sorgere nell’ambito dei fondamenti,

oltre al già citato problema della completezza, quello della coerenza delle teorie riformulate

semiassiomaticamente. Il riduzionismo ottocentesco si rivelò inefficace nella soluzione di tali

teorie

problemi. Si ritenne perciò opportuno riformulare le teorie non formali sotto la forma di

assiomatiche nel senso di Hilbert. Nelle teorie così concepite che adottano un linguaggio

completamente artificiale scompare completamente il riferimento iniziale ad un contenuto; caso

ZF

mai, il fattore semantico è successivo. Le prime teorie assiomatiche degli insiemi, quella di

NBG

(1871-1953, Berlino) e (1891-1965, Monaco, Germania), e quella di

Zermelo Fraenkel von

S

(1903-1957, Budapest), (1888-1977, Londra) e Gödel, ed il sistema formale

Bernays

Neumann 1908

dell’aritmetica elementare datano dal in poi.

T, MT. T

Lo studio di una teoria assiomatica ne è la metateoria Essa si articola in morfologia di

T, T T

nella quale si individua il linguaggio di sintassi di nella quale si stabiliscono gli assiomi di e

T T,

se ne deducono quindi i teoremi, semantica di nella quale si stabiliscono gli enunciati veri di

T,

quegli enunciati cioè veri in ogni modello di in ogni universo cioè nel quale sono veri gli assiomi

T, T

di e logica di che confronta sintassi e semantica. A H

L’aggiunta, in una teoria con assiomi, di un nuovo assioma ad un sistema precedente di

A H.

assiomi deve comportare la verifica dell’indipendenza e della compatibilità di con Devono

H A, H A.

dunque coesistere, e un modello di e non di e un modello di e di

L’intr