Teorema di Pitagora: enunciato, formula e dimostrazione

Appunto di geometria sulla teoria relativa al teorema di Pitagora: enunciato geometrico, formule inverse ed esempio di applicazione con il calcolo del perimetro.

RobertaColetti
di RobertaColetti
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Nel seguente appunto illustreremo nel dettaglio il Teorema di Pitagora, ossia un noto risultato alquanto utile nella risoluzione dei triangoli rettangoli. Una leggenda narra che Pitagora lo abbia ipotizzato guardando le mattonelle di un pavimento: si è accorto che in un triangolo rettangolo che si formava con i vertici della griglia immaginaria del pavimento, sommando le aree dei quadrati costruiti su cateti, si otteneva proprio l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa più grande.

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Indice

  1. Teorema di Pitagora: enunciato
  2. Teorema di Pitagora: formula
  3. Teorema di Pitagora: dimostrazione
  4. Esempio di applicazione del teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora: enunciato

L'enunciato del Teorema di Pitagora è il seguente: l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
La dimostrazione di questo fatto segue da alcune semplici similitudini, che vedremo più avanti.
Per approfondimenti sui criteri di similitudine dei triangoli.

Teorema di Pitagora: formula

Cerchiamo di tradurre ora l'enunciato esposto prima in formule: guardando la figura e considerando che la formula per trovare l'area di un quadrato è
[math] A = l^{2} [/math]
, dove
[math] l [/math]
è il lato, il nostro enunciato si traduce in:
[math] i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2} [/math]
Grazie a questo teorema, in particolare, è possibile trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo a partire dalle misure dei cateti, o viceversa, tramite le seguenti formule inverse:
[math] i = \sqrt{(c_{1}^{2} + c_{2}^{2})} \rightarrow c_1 = \sqrt{(i^{2} - c_{2}^{2})} \rightarrow c_2 = \sqrt{(i^{2} - c_{1}^{2})} [/math]

Teorema di Pitagora: dimostrazione

Supponiamo di avere un triangolo rettangolo
[math] ABC [/math]
rettangolo nel vertice
[math] A [/math]
.
Dimostreremo allora che vale la relazione
[math] AB^2 + AC^2 = BC^2 [/math]
. Tracciamo prima di tutto l'altezza
[math] AH [/math]
relativa all'ipotenusa
[math] BC [/math]
. Notiamo che i triangoli
[math] ABH [/math]
e
[math] CBA [/math]
sono simili per il primo criterio di similitudine. Infatti si ha
[math] \widehat{AHB} = \widehat{CAB} = 90^{\circ} [/math]
per definizione del punto
[math] H [/math]
(ossia piede dell'altezza). regole del teorema di PitagoraInoltre, dato l'allineamento dei punti
[math] B, H, C [/math]
, possiamo constatare che
[math] \widehat{ABH} = \widehat{ABC} [/math]
. Da questa similitudine possiamo stabilire la proporzione:
[math] \frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB} [/math]
.
In maniera completamente analoga, possiamo dire che i triangoli
[math] ACH [/math]
e
[math] BCA [/math]
sono anch'essi simili per il primo criterio di similitudine. Si ha infatti che
[math] \widehat{AHC} = \widehat{BAC} = 90^{\circ} [/math]
, ancora una volta per definizione di
[math] H [/math]
e per allineamento
[math] \widehat{ACH} = \widehat{ACB} [/math]
. Da tale similitudine si ricava che:
[math] \frac{AC}{CH} = \frac{BC}{AC} [/math]
La prima proporzione può essere riscritta come:
[math] AB^2 = BC \cdot BH [/math]
, e la seconda, in maniera analoga, come
[math] AC^2 = BC \cdot CH [/math]
. Queste due uguaglianze sono le uguaglianze enunciate dal primo Teorema di Euclide. Il secondo Teorema di Euclide ci dice invece che
[math] AH^2 = BH \cdot CH [/math]
, ossia che l'altezza relativa all'ipotenusa è uguale alla media geometrica delle proiezioni del vertice sui cateti. Ora sommiamo i rispettivi membri delle due uguaglianze, ottenendo che:
[math] AB^2 + AC^2 = BC \cdot BH + BC \cdot CH [/math]
. Una cosa che possiamo fare è raccogliere nel membro di destra a fattor comune, ottenendo:
[math] AB^2 + AC^2 = BC \cdot (BH + CH) [/math]
. Si può infine notare che
[math] BH + CH = BC [/math]
in quanto "pezzi" costituenti dello stesso segmento. Ma allora:
[math] AB^2 + AC^2 = BC \cdot (BH + CH) \rightarrow AB^2 + AC^2 = BC \cdot BC \rightarrow AB^2 + AC^2 = BC^2 [/math]
Vediamo degli esempi svolti.

Per approfondimenti sul primo Teorema di Euclide vedi anche qua

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Esempio di applicazione del teorema di Pitagora

  • (a) Considera un triangolo rettangolo di ipotenusa pari a
    [math] 5 [/math]
    e uno dei due cateti pari a
    [math] 3 [/math]
    . Trova il perimetro del triangolo.
  • Svolgimento (a): Ho
    [math] i=5 [/math]
    ,
    [math] c_1 = 3 [/math]
    ; applico il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo, col fine di ricavare il cateto mancante
    [math] c_2 [/math]
     e scrivo:
    [math] c_2 = \sqrt{(i^{2} - c_{1}^{2})} = \sqrt{(5^{2} - 3^{2})} = \sqrt{16} = 4[/math]
    A questo punto ho tutti gli elementi per calcolare il perimetro, che sarà:
    [math] 2P= i + c_{1} + c_{2} = 5 + 3 + 4 = 12 [/math]
  • (b) L'area di un triangolo rettangolo vale 30 e uno dei suoi cateti misura
    [math] 12 [/math]
    . Determinare il perimetro del triangolo rettangolo in esame.
  • Svolgimento (b): Ho
    [math] c_1 = 12 [/math]
    e notoriamente l'area di un triangolo generico è data da
    [math] bh/2 [/math]
    , che in questo caso si traduce in
    [math] \frac{c_1 \cdot c_2}{2} = 30 [/math]
    . Ponendo
    [math] c_1 = 12 [/math]
    otteniamo che
    [math] c_2 = \frac{60}{12} = 5 [/math]
    . Ora, ci manca l'ipotenusa del triangolo rettangolo, ma siamo in grado di trovarla grazie al Teorema di Pitagora, perché conosciamo le misure di tutti i cateti. In definitiva:
    [math] i^2 = c_1^2 + c_2^2 \rightarrow i^2 = 5^2 + 12^2 \rightarrow i^2 = 25 + 144 \rightarrow i^2 = 169 \rightarrow i = \sqrt{169} = 13 [/math]
    .
    Così facendo possiamo ora determinare il perimetro:
    [math] 2p = 5 + 12 + 13 = 30 [/math]
    .