Problemi supplementari

Appendice

Premessa

problemi

I proposti questa

in Appendice

hanno lo scopo

di consentire

agli allievi

di cimentarsi programma

con i diversi argomenti del di Geometria, senza

alcun

riferimento ai corrispondenti

capitoli del corso.

Volutamente,

non gradualità

esiste

alcun ordine logico né alcuna nella difficoltà

problemi. questo questi

dei Per problemi

si consiglia

agli studenti ricorrere

di a

gli proposti

solo dopo aver studiato

tutto il corso e dopo aver risolto esercizi in

ciascun

capitolo.

problemi proposti pretesa

I non hanno sono il risultato

alcuna di originalità, anzi

proposte Europee, per

delle dell'autore e di diversi colleghi delle varie Scuole

per

prove Bac

negli vanno

dal

in classe

o d'esame

di Prèbac

o di anni

che

compiti

1980

al 1994. per problemi

proposti,

ove non specificato

ripetizioni, tutti i

Onde

evitare

inutili riferimento

ortonormato

nello è sempre

un

il riferimento spazio

diversamente,

( o , i

, j , E ) .

1

20 Appendice:

Problemi

supplementari

Sono

dati piani

i TE1,

Tr2

e n., di equazioni

rispettive:

n t : x + n z :

x - y + 2 2 - 5 : 0

! t z : 0 ; n . : 6 x - 2 y - 5 2 + g 5 : 0

; ;

e d p u n t i

i - 3 2 , 3 1 ) ,

A ( - 8 , 1 C ( l ,

, 7 ) , 8 ( - 2 , - 1 , 2 ) , D ( - 1 7 , - 1 6 , 3 ) .

a) Determinare

I'equazione

parametrica

della retta r comune piani

ai T,t e 12 e

verificare che i punti A e B appartengono

ad.

r.

b) Determinare

I'equazione

parametrica

della retta s comune piani

ai n e 13 e

I

verificare punti

che i A e C appartengono

ad s.

c) Determinare

I'equazione

parametrica

della retta

t comune piani

ai n2 e rE3

e

verificare che punti

i A e D appartengono

a t.

d) calcolare prodotti

i scalari Àd.ÀÈ Àè.AÉ G.À8.

, ,

e) calcolare la misura degli angoli tra le seguenti

coppie di vettori:

_......--_ -)-

€€

(AC, AB) (AC,AD) (AB,AD)

; .

;

possono

Come essere

interpretati

questi angoli?

calcolare

I'area

del triangolo

i cui vertici sono

A(1,2,3),8(2,-l,l) e c(-2,1,-l).

Nello spazio,

riferito ad un riferimento ortonormato,

sono punti:

dati i A(2,-1,-l),

8(6,-8,0),

C(2,1,2)

e D(0,2,-l).

a) Trovare prodotto

il vettoriale

dei vettori ÀÉ " aB.

b) Calcolare

la minimadistanzatra le (AB) (CD).

rette e

Sono

dati punti

i A(-5,1,1),

B(1,0,-3),

C(l,3,0) eD(2,3,4).Determinare:

a) un'equazione

cartesiana piano (ABC);

del

b) le equazioni parametriche (CD);

della retta

gó;

prodotto

c) il scalare:

ÀÉ.

d) un'equazione

cartesiana piano

del passante

per D e ortogonale al vettor" cd

- 2 x - :

E d a t a l a s f e r a S d i e q u a z i o n e + +

y '

x ' + 4 2 1 2

z ' 2 y 0 .

a) Determinare

le coordinate

del centro e la misurara

del raggio di S.

b) Dimostrare che piano

S è tangente

al xy.

c) La retta r parallela

è all'asse

x, appartenente piano passante

al xy per

e punto

il

A(0,-3,0). Determinare

I'equazione r.

di

d) Determinare le equazioni piani

dei passanti

tangenti per

ad S e r.

e) Determinare piani

I'angolo

dei di cui alla domanda

d).

punti

Sono

dati i A(3,10,0),

8(-3,6,1),

C(0,2,3)

eD(6,6,2)

e E(l,1,1).

punti

a) Dimostrare

che i A, B, C e D sono i vertici di rettangolo.

un

b) Calcolare

I'angolo fra i vettori AB AE

e

R. SANTORO'.

Geometria Appendice: Problemi supplementari 121

c) Determinare le coordinate punto

del F quadrilatero

tale che il ABFE sia un

parallelogramma. :

7 Sonodatiivettori +

d: +

3l aE"6 l2i 5i.Determinare:

a) i vettori unitari di d e di 6 :

b) il valore del numero +

reale (d

B tale che tJù.6 O

c) I'equazione

cartesiana piano

del passante

per +

O normale

e (B

al vettore a Bb é il

valore calcolato

nella precedente)

domanda

:

d) il vettore

fr dx6

e) I'equazione

cartesiana piano passante

del per O e avente come vettori direttori i

vettori d e 6

f) I'angolo piani

tra i due di cui alle domande

c) e e).

8 Sono date le rette:

x * 5 z * 9

v + 4

-

r . 2 2 4

x + l :y-l:z-2

t, Z

a) Mostrare che r e.r sono secanti punto

e determinare

il loro d'intersezione.

b) Scrivere

una equazione piano

cartesiana

del che contiene

r e s.

c) Calcolare

la distanza piano.

di 0(0,0,0) da detto

9 punti

Sono

dati i A(2,0,-l), B(1,-1,3),

C(0,1,2) P(5,2,-3).

e : (ABC).

a) Scrivere piano

un'equazione

cartesiana

del n,

parametriche (PC).

b) Scrivere

le equazioni della retta

prodotto

c) Determinare

il vettoriale

aF, aÉ.

piano

d) Scrivere un'equazione passante

per parallelo piano

cartesiana

del 7T2 A e al

(PCB). : (\n2.

parametriche

e) Scrivere

le equazioni della retta r îÍt

piano

La ha in P Dimostrare

sfera

S centro ed è tangente

al n1. che Snn2 è una

0 circonferenza,

di cui si determineranno

le coordinate del centro e la misura del

raggio. le matrici:

10 Sono date r rì

tì

(t-t (z 1l

tl 3

2 B:l-l

A:l-r e

-t) |

| 0)

\0 \2 può

prodotti BA. si concludere?

i AB e Cosa

a) Calcolare (ABXB-IA-I). puo

si concludere?

Cosa

A-1, B-1,

B-lA-1,

b) Calcolare Geometria

R. SANTORO:

1

22 Appendice: p

pl

P

rob

I

e

m

i su e

m

e

nta

ri :

-

11 punti -

sono dati i A(1,1,-3) piano

e 8(-2,1,3)

ed il +

n di equazionex y 2z | 0.

a) Scrivere le parametriche

equazioni (AB)

della retta e determinare punto

il

d'intersezione (AB)

C di con n.

b) scrivere I'equazione piano

del (AB)

n1 contenente perpendic

e olarc

a n.

c) Calcolare (AB)

I'angolo (CA).

tra e - -

12 Sono piano

dati il +

n di equazione2x y 4:0 punto

3z ed il A(2,1,1).

:

a) Se d la per

è retta A e di vettore (-1,1,0),

direttore ù. determinare punto

il

d'intersezione

B tra d e n, la distanza

AB, e la misura gradi

in dell'angolo

tra la

retta piano

d e il n. :

-

b ) +

S è l a s f e r a d i e q u a z i o n e x ' +

y ' z ' - 8 x 6 y 0 . P r o v a r e c h e

I'intersezione

di S e di n è una circonferenza

di cui si determineranno

la misura

del raggio e le coordinate

del centro.

c) Determinare punto<