Isometrie nello spazio, aspetto analitico e matriciale

Capitolo 6

108

PRoIEzIoNE

3 oRToGoNALE SU UN PIANo..........

4 SIMMETRIA oRToGoNALE RISPETTO

AD PIANO..

UN ...............I IO

tt2

5 SImurrnrA RrspETTo

oRTocoNALE AD UNA

R8TTA..........

6 Sruurrnrn CENTRALI. ll5

7 RorAZroNE ATTORNO

AD uN AssE

Frsso ........... .....................115

Esnnczr

8 7

............1

1

108 cap. 6: lsometrie

netto

s\azb. Aspetto

anatitico

e matriciate

I Considerazioni

generali

Anche nello spazio si possono considerare

delle trasformazioni generiche

o delle

trasformazioni

che conservano

le distanze gli

e angoli (isometrie).

Per le isometrie,

le definizioni date

nel paragrafo

I del capitolo 3 e le considerazioni

generali

svolte nel paragrafo

6 dello stesso

capitolo sono valide anche

nello spazio,

con i

dovuti adattamenti.

Data la maggiore

complessità

rispetto piano,

al si considereranno

qui in modo particolare

delle situazioni

semplici rispetto agli assi

di riferimento od piani

ai di riferimento.

2 Traslazioni

nello spazio

(u'\

una traslazione =l

di vettore

o r, nello spazioè

una

isometria

dello spazio

in sè

che

fa

I

\r, )

p(x,

corrispondere punto

al p,(x,,

y, z) punto

il y,, z) =

taleche FF ú . L'ultima uguaglian-

za v ettoriale

implica che

: . l x \

: u, * l l

x * u , ( t 0 0

f x ' = lr'l , l

fx'-x =:::,'-l;,J=l;

l:,'

ît2

e u'

1 0 ll" I

1r'-r:

= l l z I

u"l,

u,

lz'-z 0 1 )

3 Proiezione

ortogonale piano

su un

proiezione

Una ortogonale

su piano

un n è una trasformazione

(non isometrica)

dello

p

spazio in sè che associa

ad punto p'

un dello

P, spazio punto

un

del piano n taleche il vettore FF lrr, come risulta dalla

figura a lato.

Le considenzioni (e la dimostrazione) del paragrafo 5 del ca-

pitolo 4, sono sufficienti a far scrivere le equazioni analitiche

della trasformazione.

Infatti, da punto

un di :

vista g.

analitico, +

se +

n: ax +

by cz 4

pF

y,x)

P(x, e P'(x', z),la condizion" In consente

!', di scrivere:

R.SANTORO.

Geometria cap.6: lsometrie

neilo spazio Aspetto anatitico

e matriciate 10g

l . t r \ - - _

+ c' qcz

aby

\b' ad

ax+by+cz )x

u t _ u ---j---:;----

-

4 ^ a

.

a- a2

+0'+c' +b' + c2

-aDx+\a'

t I a 1 \

ax+ by + cz +c')y_bcz_bd

.,1_ ,, ---r----;)

- --

) D, o anche:J

) y'=

,

a- +b'+c" a2 +b' + c2

a x + b y + c z

o t _ - -acx - -

bcy +(a2

---i------ì----- + bt)z cd

e _ -

,,

a'+b'+c' a'*b1;,

relazioni che possono

riscriversi sotto forma matriciale: ' l x \

_ab

(b, _ac

+ c' -qd

lr'l )l I

| | r l - -bdllvl

| - s b _bc

' ar+c,

l y ' I = a , + b r + c r l

r,l _,d

ll, I

-or -bc

\z ) a 2 + b 2

[ ' \t )

La matrice M dellatrasformazione è _ab _qc

+c,

( b,

, I

-=----l

= -ab

M q= -bc

+ c.

q' +b'*t'[' I

-qc -bc a ' + b 2 )

Lo studente

verifichi che la matrice Mha determinante

nullo: d,etM:0. La circo stanza

non deve meravigliare se pensa

si p,

al fatto che, dato punto

un di n, esistono infiniti

punti P dello spazio

che hanno come proiezione p'.

ortogoìale su n lo stesso

punto

Dunque, se dal sistema di equazioni precedenti si voÉssero ricavare le coórdinat

e y

x, e z

punto

del P, si troverebbero

infinite soluzioni (sistema

indetermin

ato:

d,etM:0). puo

Si

dire anche che la trasformazione non è invertibile questo

e si traduce profrio nét zuto "t "

la matrice

Mè singolare.

Nota:non è necessario

imparare

a memoria le formule precedenti;

è importante,

piuttosto,

che lo studente

sappia

rifare, caso

per caso,

le considerazioni

ed icalcoli che

conducono alla loro dimostrazione.

particolari

Casi 1. Proiezione

ortogonale p'(x,

rispetto piano

(O,f

al y, x) y,

+ 0).

,j):p(x,

2. Proiezione p(x,

ortogonale p,(x,

rispetto piano

(.O,í

al y, x) > 0, z).

,É):

3. Proiezione p(x,

ortogonale p,(0,

rispetto piano

(O,j

al y, x) y,

= z).

,E): R.SANTORO:

Geometria

110 Cap' 6: rsometrie

neilo

spazio. Aspetto

anatitico

e mat,ci,e

Esempio scrivere le equazioni

della proiezione

ortogonale

rispetto piano

al

n:x'yI2z:0.

Soluzione: Anche se resta valida la Nota precedente,

per brevità, applicando

direttamente

le formule ricavate in precedèn

za sihaó";;;o conto

che, :

in questo : -I,

caso, :2

a g :

I, ')(l

b e d 0\:

, 5 1 1

= - - x * - V - - z

x 6 6 " 3 (

lx"\ s 1 -

5

, 1 I

= à * * A Y * t , ll

o

anche:

! , I u'

l= r 5 2

6 l

l " _

| , 2 2

\ z ) \ - 2

, l 1 l

= - j * * j y * r ,

,

4 Simmetria

ortogonale

rispetto

ad piano

un

Una simmetria ortogonale rispetto ad un piano n è una