Equazioni della sfera e applicazioni

Capitolo 5

-

punti BP 0..............

P tali che AP'

dei

Luogo .............98

SFERA..

RISPETTO

AD UNA

RETTA

E DI UNA

DI PIANO

2 PoSzIoNE UN ....................101

DI DUE

SFERE

RELATIVE

PostzloNr

3

96 Cap. 5: Eguazione deila sfera e appticazioni

î Equazione

della sfera

La sfera è il luogo geometrico punti

dei dello spazio che hanno distanza costante

r da un

punto fisso C. C è il centro della sfera, r è 1l raggio della sfera.

Nello spazio euclideo di

riferimento .. C(!r,yr,rr) èil centro

della

Qj,j,È),

sfera

e P(x,y,z) punto

un generico

P della

sfera,

deve

essere

-

ll ll2

=

12,

da

cui:

llt.ll

c

,k -"0)' - -

(" =

+ yof

(y + rof r' (1).

Q

(l)

La definisce

I'equazione

cartesiana

della sfera

di centro

\ J C Q o . y o . z o )

e r a g g i o

r .

Sviluppando quadrati

i (l)

della si ha:

- 2 x o x - 2 y o y - 2 z o z + t 3 - 1 2

* ' + y ' + z ' = 0

+ y 3 + 2 3 (Z).

La(2) è un'equazione

del tipo:

y' =

,' + + zt + ax +by + (3),

cz + d 0

q

xo 2

-2xo

: b

la /o

lb=-2v^ 2

dove: (4).

-2zo

= c

lc 2

y l + z ' o - r '

l a = x l + I -4d

at +b' +c'

1

(3),

La assieme (4),

alle definisce

I'equazione

di una circonferenza

di centro

Esempio I Scrivere

I'equazione

della sfera

di centro C(2,-1,3) e raggio r: 3.

Soluzione: L'equazione

richiesta

è:

-z)' =

*

(" (y *1)' *('-3)' s ,

da cui, sviluppando quadrati:

i

-4x -62 =

y'

x' + + z' +2y +5 0.

R.SANTORO'.

Geometria 9gp. S: g7

Equazione della sfera e appticazioni

Esempio

2 - -

Data I'equazione y'

x2 + + z2 + 5x 6y +32 l= 0, determinare

e

caratterizzare

il luogo geometrico che rappresenta.

Soluzione: Si tratta dell'equazione

di una sfera

avente

centro t" "

,t,-:)

{-;

r - - 1 -

r a g g i o

r = = J z s + 3 6 + 9 + 4 = : " J 7 4 .

2

z

Luogo punti

dei =

P tali che ÀÉ.BF 0

Un'altra definizione

della sfera

deriva dalla circostanzache

ogni triangolo inscritto

in una semicirconferenzaè rettangolo. Allora può

si definire la sfera di diametro

come il luogo punti

dei M tali che I'angolo

[AB]

AMB è retto o, anche,

tali che

=

A P . B P 0 .

punto

Dal di vista analitico, se A(xryr,zr),8(xryr,zr) A

e P(xy,z),la condizione

precedente

si scrive:

- - - - -

( r -

r , : 0

* r ) * ( y y , ) ( y y r )

* ( t " , ) ( , z r )

) ( ,

da cui, sviluppando:

-(*, -(y, -(t,

y'

"' + + z' + *r)* yr)y =

+ * rr)" yty2

+ xéz + + zrz, 0,

equazione proprio

che è (3).

del tipo

owiamente, dall'ultima equazione,

si deduce

che il centro della sfera è

z,+zr\

/ * l z

n ( x , + x ,

- - t .

! t

t t l ) l '

\ ! L - , /

proprio

corrispndente punto

al medio

del segmento ed il suo

raggio

è dato

[AB],

da t l - - -

y,)'

,,)' +(y, *(r, r,)' .

J(r,

;

propri"

corrispondente " 1"U. R.SANTORO.

Geometria

98 Cap.5: Equazione

detta sfera

e appticazioni

2 Posizione di piano

un e di una retta rispetto ad una sfera

Geometricamente

sono possibili tre casi riguardanti la posizione

relativa di piano

un n

rispetto ad una sfera di centro C e raggio r:

Il piano n è esterno alla sfera

e non ci sono punti

comuni tra sfera piano.

e In questo caso si ha:

;-=-;=- > r l

l d ( C , n )

piano

Il è tangente alla sfera

e c'è un solo punto ln

comune piano

tra n e sfera.

In questo

caso si ha:

@@"l:4

piano

Il è secante

la sfera.

L'intersezione

è una

circonferenza

di centro (intersezione

H tra normale a

per

n piano

C e n e raggio ^R

dato da:

)

I - - a - . ^ , - .

-

=

R ,' d'(C,r). In questo

caso

,l si ha:

@@,r4

Considerazioni analoghe possono

si fare per posizione

la relativa di una retta s rispetto ad

una sfera

di centro C e raggio r:

El-rrz retta s esterna alla sfera.

ws;a retta s tangente alla sfera (un punto di tangenza).

Eai;ll retta J secante

la sfera. Si hanno due punti d'intersezione

A e B

tali che:

ll----ll z -

llnnll= d2 sy

1c,

l t t l

Esempio

I Data

la -2x

sfera,S

di equazionex'

+ yt + ,, =

+3y +22_ 2 0 ed il

-

piano

n di equazione =

y

.r + 2z- 5 0, studiare posizione

la di n

rispetto

ad S.

R.SANTORO:

Geometria Cap. g9

5: Equazione della sfera e appticazioni

Soluzione: / t \ 1

- l : J 4 + 9

Sha centro =

- a .

- -

CI1_1

\-' e r a g g i o =

r + 4 + 8

I - -

/

2' 2 2'

lt*1-r-rr

= = l,

d(C,n) d.,r,que

n è secante

la

ìi=/ *=]A.

:

sfera

s e risulta són una circonfeîenzadi

centro H e raggio R, dove:

25 9.6 - s 4

= ! 2 6

^ i t o o

4 1 6 \/16 t6 4

Per determinare

le coordinate

di H, si considera

la retta t(C,n),

passa