Strani calcoli ispirati da un racconto di Borges

MATEMATICAMENTE.IT

Strani calcoli ispirati dal

racconto di J. L. Borges

“La biblioteca di Babele”

Marco Ripà

13/11/2010

L’ articolo prende spunto dal labirintico universo nel quale è ambientato uno dei più affascinanti

racconti di Borges. Nella prima sezione viene presentato un approccio originale e intuitivo, volto

alla stima di un grande fattoriale; successivamente si sposta il focus sul calcolo “a mani nude” di

656000

25 . Questo risultato viene sfruttato nell’ultima parte per giungere ad una conclusione per certi

versi paradossale, circa uno dei temi centrali della storia: l’impossibilità di reperire il libro della

Verità. Il tutto è corredato da un’appendice che chiarisce alcuni curiosi retroscena. 2

I numeri fattoriali sono importanti in matematica, soprattutto perché sono alla base del calcolo

combinatorio; in particolare, esistono n! sequenze distinte di n elementi (ovvero n! “permutazioni”).

La notazione “n!” (con il punto esclamativo finale) risale al 1808 ed è dovuta alla rapidissima

crescita di questa serie numerica:

x x

< n! per ogni n ≥ 6, mentre 10 < n! a partire da n ≤ 25.

Per fare un confronto, e

In un famoso racconto [Jorge Luis Borges, La biblioteca di Babele, in Finzioni, 1941. Arnoldo

Mondadori Editore, traduzione di Franco Lucentini, 1955, Milano], lo scrittore argentino Borges

descrive un mondo fantastico nel quale gli esseri umani vivono all’interno di una biblioteca infinita.

In questa storia, la stragrande maggioranza dei volumi della biblioteca non ha alcun senso e tutti i

libri sono formati da 410 pagine. Ognuna di esse è una sequenza aleatoria delle 25 lettere

tipografiche che si alternano nelle 40 righe di ogni facciata. Le righe contengono, a loro volta, 40

656000 1

caratteri ciascuna, per un totale di 25 combinazioni possibili .

n 64

E’ banale mostrare (basta una calcolatrice tascabile) che 25 < n! solo se n > 65 (infatti 25 > 64! e

65

25 < 65!). Prendendo spunto da ciò, possiamo provare a cimentarci in un problema di calcolo

2 .

leggermente più impegnativo

Se pensiamo a un libro con le stesse caratteristiche di quelli poc’anzi menzionati (410 pagine, 40

righe e 40 caratteri per ogni riga), ma con 656000 simboli differenti (lo stesso simbolo non può

apparire due volte nell’intero libro), quante possibili permutazioni abbiamo?

Già sappiamo che ce ne sono 656000!, così questo sarà il problema con cui ci confronteremo nella

pagina successiva.

Non trovando una calcolatrice o un programma abbastanza potente, ho scovato - girovagando per

la rete - una tabella che riporta quante cifre contengono 650000! e 700000! (tra 500000! e 900000!

3

la griglia procede a salti di k=50000!) . E’ allo stesso modo evidente che la crescita è quasi lineare

(per “n” in quell’intervallo) e un particolare incremento “k” è solo un po’ più grande rispetto al

precedente. Quindi ho concepito un metodo per individuare un ristretto intervallo di cifre che

include al 100% il reale valore di 656000!

La progressione del fattoriale (anche se è discreta) può essere immaginata come una funzione

2

convessa (in maniera similare, ad esempio, a f(x)=x , con x > 0), cosicché possiamo essere sicuri

che il numero da stimare possiede meno di 3496106+5.829193*(656000-650000) < 3531082 cifre

(ho ricavato i coefficienti – arrotondati per eccesso – per mezzo di un’interpolazione lineare,

ponendo la variabile “numero di cifre” sull’asse delle ordinate).

Questo sarà il sup (il “tetto”) del nostro intervallo.

1 Nella traduzione in italiano del racconto che ho io, c’è un piccolo errore; è infatti riportato che ogni riga consta di 40

elementi (spazi inclusi) anziché 80. Pertanto, pensando a un ipotetico bibliotecario italiano, mi accingo a procedere nei

calcoli partendo da questo assunto: ci saranno meno libri rispetto a quelli che affollano il testo originale di Borges, ma il

significato intrinseco di quanto dirò resterà immutato.

2 In ogni caso, nella seconda parte del presente articolo, mostrerò un semplice metodo per giungere ad una stima

relativamente precisa di quel numero, usando solamente una calcolatrice a 10 cifre.

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