Teorema fondamentale del calcolo integrale

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Primo Teorema Fondamentale del Calcolo

Sia f una funzione continua in un intervallo aperto contenente l'intervallo [a, b].

x

G x f t d

t

Sia per a < x < b. Allora G è derivabile in [a, b] e la sua derivata è f; cioè

a

G' x f x .

Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo

Se f è continua in [a, b] e se F è una qualunque antiderivata di f, allora:

b f x d

x F b F a

a

I due teoremi ci dicono che:

1) Ogni funzione continua ha una antiderivata;

2) Per calcolare l'integrale definito di una funzione continua, possiamo prima trovare una sua

antiderivata e poi fare la differenza tra i valori che questa funzione assume agli estremi dell'intervallo

d'integrazione.

Quello che i Teoremi Fondamentali del Calcolo non garantiscono è che l'antiderivata di una funzione

continua possa essere scritta in termini di funzioni elementari (polinomi, seno, coseno, radici,

esponenziali e logaritmi). Essi ci danno, comunque, un semplice metodo per valutare l'integrale

permettendoci di scegliere qualunque antiderivata della funzione integranda.

b 2

Troviamo t d

t

a 3

t

2

t F t , così che l'integrale è:

è

Un'antiderivata di 3

3 3

b a

F b F a 3 3