Successioni di Cauchy e completezza di R

Luca Lussardi Appunti di analisi I

Successioni di Cauchy;

completezza di R

Il concetto di successione di Cauchy fornisce uno dei concetti di base per lo sviluppo dell’Analisi

Matematica; infatti l’essere di Cauchy è una proprietà ”interna” alla successione, ma che in molti

casi si trasmette ”all’esterno” garantendo l’esistenza del limite. Tale proprietà viene anche detta

di completezza. ∈

Si dice che una successione reale x è una successione di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste n̄ N

n

|x − | ≥

tale per cui si abbia x < ε per ogni n, m n̄.

n m

Fuori dalle righe una successione di Cauchy è una successione nella quale i valori da essa assunti

si avvicinano sempre di più tra loro quando n diventa grande.

Una prima proprietà elementare è la seguente:

Sia x una successione convergente; allora x è di Cauchy.

Proposizione: n n

Dimostrazione. Sia lim x = `;

n

n→+∞

∈ ≥ |x −

allora per ogni ε > 0 esiste ν tale per cui per ogni n ν si ha `| < ε/2; dunque per

N n

≥ |x − | ≤ |x − |x −

ogni n, m ν si ha x `| + `| < ε/2 + ε/2 = ε.

n m n m

Il fatto che più interessa è che in vale anche il viceversa, il che porta alla conclusione che

R

è ”completo” (per definizione).

R Sia x una successione di Cauchy; allora

Teorema (criterio di convergenza di Cauchy): n

x converge.

n ≥

Dimostrazione. Anzitutto la successione risulta limitata; infatti fissato ε > 0 e n ν, si ha

− ≥

x ε < x < x + ε per ogni m ν. Per il Teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una sotto-

n m n ∈ ∈

successione x convergente ad un certo ` Dunque per ogni ε > 0 esiste µ tale per cui

R. N

n h

≥ |x − |x − |

per ogni h µ si ha `| < ε; dal momento che x è di Cauchy si ha anche che x < ε

n n n m

h

≥ |x − |x − | |x −

per ogni n, m ν. Sia quindi n > max{n , ν}; allora si ha `| < x + `| < 2ε

h µ n n n n

h h

≥

per ogni n ν. 1