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</div>Trovare gli eventuali massimi e minimi liberi della funzione
2 4 3
f (x, y) = x y − x − y .
2
f è differenziabile su tutto , e dunque i massimi ed i minimi liberi devono essere
R
soluzione.
punti critici; cerchiamo quindi le soluzioni di ∇f (x, y) = 0, ovvero
∂f
=0
∂x
∂f =0
∂y
e dunque 2
x(y − 2x ) = 0
2 2
x − 3y = 0
che ha come soluzioni √
√ 1 1
3 3
P = − .
P = (0, 0) P = , ,
3
1 2 6 6 6 6
Calcoliamo ora l’Hessiano di f : 2
2y − 12x 2x
H = 2x −6y
dunque
0 0
H(P ) =
1 0 0
ovvero il punto (0, 0) necessita di uno studio locale; osserviamo che f (x, y) − f (0, 0) = f (x, y),
3
e che, lungo la retta x = 0, f (x, y) = −y . Ne segue che in un qualsiasi intorno di (0, 0), f
assumerà sia valori positivi sia valori negativi: di conseguenza (0, 0) è punto di sella per f . Per
quanto riguarda P si ha
2 √ !
3
2
− 3 3
H(P ) = .
√
2 3 −1
3
Volendo calcolare gli autovalori di H(P ), si deve risolvere
2 √ 3
2
− − λ
3 3 =0
√
3 −1 − λ
3
ovvero 2
3λ + 5λ + 1 = 0
che ha due soluzioni negative; ne segue che P è un massimo locale. Infine per P si ha
2 3
√ !
3
2 −
− 3 3 .
H(P ) = √
3 3 −1
− 3
Con conti analoghi, anche P risulta massimo locale per f .
3
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