Massimi e minimi di funzioni in due variabili 12

2 2 2 2 2

Sia f (x, y) = x + y ; sia Q = {(x, y) ∈ : x + y ≥ 1 , |x| ≤ 4 , |x| − 4 ≤ y ≤ 4}. Siano

R

M ed m i valori massimo e minimo assunti da f in Q. Calcolare M − 3m.

Anzitutto f non ha punti critici all’interno di Q; infatti ∇f = 0 se e solo se

soluzione.

x = y = 0, ed il punto (0, 0) non appartiene a Q. Inoltre f è continua e Q è un insieme chiuso e

limitato. Per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo assoluti su Q. Tali punti,

per quanto detto, non possono stare nella parte interna di Q, devono perciò stare sulla frontiera

di Q. Osserviamo che f (x, y) non è altro che la distanza del punto (x, y) da (0, 0); ne segue che,

osservando il disegno di Q, i punti a distanza massima da (0, 0) in Q sono i punti (±4, 4), mentre

2 2

i punti a distanza minima da (0, 0) in Q sono i punti della circonferenza x + y = 1. Quindi si

trova M = f (±4, 4) = 32, mentre m = 1, da cui M − 3m = 29.