Massimi e minimi di funzioni in due variabili 10

Trovare e classificare tutti i punti stazionari di \( f(x, y, z) = \sin x - y^2 - e^{z^2} \).

Soluzione. \(\nabla f = 0\) porta al sistema

\[\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 0 \\ -2y = 0 \\ -2ze^{z^2} = 0 \end{array}\right.\]

che ha come soluzioni \( P_k = \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, 0, 0 \right) \), con \( k \in \mathbb{Z} \). L'Hessiano di \( f \) è dato da

\[H = \left( \begin{array}{ccc} -\sin x & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2e^{z^2} - 4ze^{z^2} \end{array} \right).\]

Ne segue che

\[H(P_k) = \left( \begin{array}{ccc} (-1)^{k+1} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\]

che ha autovalori strettamente negativi se \( k \) è pari, da cui \( P_k \) punti di massimo, mentre ha autovalori di segno alterno se \( k \) è dispari, da cui \( P_k \) punti di sella.