Massimi e minimi di funzioni din due variabili 13

Determinare massimi e minimi per la funzione

f (x, y) = xy

sul vincolo 2 2 2

C = (x, y) ∈ x + y + xy − 1 = 0 .

R

C è chiuso e limitato, ed f è continua; dunque f ha massimo e minimo assoluti su

soluzione.

C. Inoltre C non ha parte interna, per cui cerchiamo tali punti con il Metodo dei moltiplicatori

2 2

di Lagrange: g(x, y) = x + y + xy − 1 è differenziabile ed il suo gradiente è

∇g(x, y) = (2x + y, 2y + x)

che si annulla solo nell’origine, che non è un punto di C. Consideriamo quindi

2 2

φ(x, y, λ) = xy + λ(x + y + xy − 1)

e risolviamo ∇φ(x, y, λ) = 0, ovvero:

 y + 2λx + λy = 0

 x + 2yλ + xλ = 0

2 2

x + y + xy − 1 = 0



da cui si ottengono facilmente le soluzioni

√

√ 1

3 3

P = (±1, ∓1, 1).

, ± , −

P = ± 3/4

1/2 3 3 3

Ora, osserviamo che 1

f (P ) = f (P ) = f (P ) = f (P ) = −1.

1 2 3 4

3

Dunque sicuramente P sono massimi assoluti di f ,e P sono minimi assoluti di f (su C).

1/2 3/4