Integrazioni in coordinate polari

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Integrazione

Integrazione in coordinate polari

L'area racchiusa da una curva, di equazione in coordinate polari, è data dall'integrale

r = f(θ)

β] θ

r2/2 sull'intervallo in cui spazza l'area.

[α, α ≤ θ ≤ β:

Area della regione tra l'origine e la curva di equazione per

r = f(θ),

β 1 2 θ

.

A d

r

2

α

Per ottenere questa formula seguiamo una procedura simile a quella seguita nelle Somme di Riemann

per determinare l'area sotto la curva con una somma di rettangoli. Immaginiamo di dividere la regione

Δθ Le aree dei vari settori sono

in molti sottili settori circolari di raggio r e angolo al centro .

1 2 Δθ θ

. .

r

approssimativamente e noi le sommiamo nell'intervallo in cui varia per ottenere l’area

2

totale. θ θ

.

. 3

r 2 sin

Calcoliamo l'area della rosa integrando la funzione in coordinate polari

.

θ π

Il raggio spazza tutta la regione quando va da a

0 .

π

theta 0 , .02 ..

120 60

2

1

180 0 0

240 300

π 1 2

θ θ

. .

. 2 sin 3 d

2

0

Integrando si ottiene

π