Equazione differenziale ordinaria 11

Data l’equazione differenziale p

′ 2

4 1 − u (x)

u(x)u (x) = x

determinare la soluzione generale, in forma implicita, e trovare, se esistono, le soluzioni parti-

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colari dei problemi di Cauchy: u(0) = 2; u(0) = .

Risolviamo l’equazione data come equazione a variabili separabili; calcoliamo quindi

soluzione. u 1 −2u

Z Z

√ √

du = − du =

2

2 2

4 4

1 − u 1 − u

1 +1

2 − 2

(1 − u )

1 4 p 2 3

4

+ k = − (1 − u ) + k

= − 1 1

1

2 3

+ 1

− 4

e 2

x

Z xdx = + k .

2

2

Allora la soluzione è data da 2

2 x

p 2 3

4 + c c ∈

− (1 − u (x)) = R.

3 2

Tale soluzione è locale, e si estende, oltre al suo dominio, fino a che u = 0 od u = ±1, condizioni

proibite in partenza, poichè annullano o rendono indefinita b(u). Per quanto riguarda i problemi

di Cauchy, il primo, u(0) = 2, darebbe √

2 4

2 = u(0) ⇐⇒ − −27 = c

3

che non ha soluzioni reali; il secondo invece dà r 3

2

1 3

4 = c.

⇐⇒ −

u(0) = 2 3 4