Derivata di una funzione irrazionale

Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema = +

3 2

Studiare la derivabilità della funzione f ( x ) x x x nel dominio di definizione.

Soluzione

La funzione è algebrica irrazionale intera. Poiché il radicale ha indice dispari la funzione è definita

su tutto l’asse reale. Determiniamo la funzione derivata prima per osservarne la forma analitica e

trovare il dominio.

Scrivendo la funzione nella forma seguente

1

( )

= + = +

3 2 2 3

f ( x ) x x x x x x

ed eseguendo la derivata applicando la regola del prodotto si ottiene ( )

+

1 1

( ) ( ) x 2 x 1

−

1 ( )

1 = + +

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + →

2 2 3 2

3 3 f '( x ) x x (1)

f '( x ) 1 x x x x x 2 x 1 ( )

3 2

+

2

x x

3

Dalla forma ottenuta sembrerebbe che la funzione in esame non sia derivabile nei punti x=0 ed x=-1

perché in essi si annulla il denominatore della frazione che compare nell’espressione della funzione

derivata prima, mentre è derivabile in ogni altro punto reale. Osserviamo che per x=0 si annulla

anche il numeratore della suddetta frazione.

Faremo vedere che la funzione nel punto x=0 è derivabile, mentre non lo è nel punto x=1.

Possiamo provare la derivabilità nel punto x=0 in due modi diversi.

Primo metodo

Applicando la definizione di derivata prima in un punto come limite del rapporto incrementale si

ha: − +

3 2

f ( x ) f (0) x x x

= = + =

3 2 ,

lim lim lim 0

x x

−

→ → →

x 0 x

x 0 x x

0 0

ed avendo ottenuto un valore finito per il limite si conclude che la funzione è derivabile nel punto in

=

f '(0) 0 .

esame e risulta

Secondo metodo

Prima di calcolare la derivata prima si può scrivere la funzione in esame nella seguente forma

1 4

1

( ) 1 1

( ) ( )

⋅ + = +

= + =

2 3 3

3 x x x 1 x x 1

f ( x ) x x x 3 3

e calcolare la derivata prima applicando la regola del prodotto. Si ha:

4

1 4

1 1 3

4 1 4 x

( ) ( ) −

1

= + + ⋅ + = + +

3 2

3 3

f '( x ) x x 1 x x 1 x x (2)

3 3 ( )

3 3 3 2

+

3

3 1

x

Dalla forma ottenuta si evince chiaramente che la funzione derivata prima esiste anche per x=0 e

=

f '(0) 0 , come già visto per altra via.

risulta

Studio della derivabilità nel punto x=-1

Facendo riferimento alla forma (2) della funzione derivata prima, si osserva che nel punto x=-1 la

stessa non è definita e studiando il limite per x→-1 risulta

4

3

4 x 1

= +