Calcolo delle derivate

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Calcolo delle derivate

Nonostante l’organizzazione attuale di un corso di Analisi Matematica in una variabile reale

preveda la teoria dei limiti e della continuità come primo importante capitolo, storicamente il

primo concetto di analisi a farsi strada è stato il concetto di derivata o meglio di differenziale.

L’idea portante è quella di esprimere in modo formale e preciso ”quanto varia” una funzione,

qual è il suo tasso di variazione: ad esempio se si considera la funzione che fornisce lo spazio

percoso da un punto mobile in funzione del tempo, la derivata (prima) della funzione data sarà

la velocità del punto: quanto rapidamente varia lo spazio in funzione del tempo.

La definizione

→ ∈

Sia f : (a, b) una funzione, e sia x (a, b). Si dice che f è derivabile in x se esiste ed è

R 0 0

finito −

f (x) f (x )

0

lim ;

−

x x

x→x 0

0

0

in tal caso tale limite si denota con f (x ) e si dice derivata prima di f in x . Un fatto im-

0 0

portante da osservare è che la derivabilità di una funzione implica la continuità della funzione

stessa: dunque la derivabilità è una condizione di regolarità maggiore rispetto alla sola continuità.

→

La derivata prima di una data funzione ha un preciso significato geometrico: se f : E R

0

∈

è derivabile in un punto interno x E allora f (x ) rappresenta il coefficiente angolare della

0 0

retta tangente al grafico della funzione f nel punto (x , f (x )): tale retta ha quindi equazione

0 0

0

− −

cartesiana y f (x ) = f (x )(x x ). Nella seguente figura viene rappresentata la funzione

0 0 0

3 − −

y = f (x) = x x + 1 e la retta y = 2x 1, ottenute applicando la definizione data di retta

tangente nel punto (1, f (1)). 2,5

5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2,5

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