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Sintesi
Nel seguente appunto vedremo maggiormente nel dettaglio come calcolare determinate serie numeriche.
Si ricorda che una serie numerica (infinita) è data da:
[math] S = \lim_{n \to \infty} S_n [/math]

dove
[math] S_n [/math]
è la successione delle somme parziali. Esistono determinate tecniche per calcolare certe somme, vediamo un esempio.

Serie geometriche


La serie geometrica è l'esempio più "semplice" di una serie infinita che è facile da calcolare.
Prima di parlare di serie geometrica però, è importante definire una progressione geometrica anzitutto.
Una progressione geometrica è una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante. Ad esempio, le successioni:
[math] a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = \frac{1}{2}, a_4 = \frac{1}{4}, \dots [/math]

e:
[math] b_1 = 3, b_2 = 9, b_3 = 27, \dots [/math]

sono progressioni geometriche.
Il rapporto tra due termini consecutivi viene chiamato ragione della serie, o progressione.
Si può dimostrare che per una serie geometrica di ragione
[math] r [/math]
vale:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r} [/math]

a patto che la ragione della serie soddisfi la disuguaglianza
[math] |r| < 1 [/math]
, altrimenti la serie non sarebbe convergente.
Con la formula vista poco fa possiamo quindi dire che:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 4 [/math]

mentre la seconda serie non converge.

Serie telescopiche


Telescopizzare è il nome che viene dato a quel tipo di "azioni" che, nell'ambito delle serie infinite, consistono nel calcolare il suo valore notando che essa è equivalente a una quantità più altri termini che si cancellano vicendevolmente.
Un concetto difficile da spiegare a parole, ma più facile da vedere dal vivo. Vediamo un esempio. Calcoliamo:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} [/math]

Possiamo intanto osservare che
[math] \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/math]
, per cui:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac13 - \frac14 + \frac14 - \frac15 + \frac15 - \frac16 + \dots [/math]

Tutti i termini si cancellano a vicenda! L'unico che "sopravvive" è l'addendo 1.
Pertanto, il valore della serie infinita è 1.

Si rimanda al documento sottostante per ulteriori approfondimenti.