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POLINOMI
Consideriamo espressioni del tipo:
An(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxu
a0, a1, an ∈ ℝ
an ≠ 0
- I polinomi si scrivono per potenze crescenti o decrescenti.
- Il polinomio con tutti i coefficienti "0" è detto nullo.
POLINOMI UGUALI
Am(x) = Bm(x)
Due polinomi si dicono uguali se sono dello stesso grado ed hanno ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
OPERAZIONI COI POLINOMI
An(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxm
Bm(x) = b0 + b1x + ... + bmxm
an ≠ 0 , bm ≠ 0
POLINOMI
Consideriamo espressioni del tipo:
An(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxm
a0, a1, an ∈ ℝ
an ≠ 0
Il polinomio si scrivono per potenze crescenti o decrescenti.
Il polinomio con tutti i coefficienti “0” è detto nullo.
POLINOMI UGUALI
An ugu(x) = Bm grado(x)
Due polinomi si dicono uguali se sono dello stesso grado ed hanno ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
OPERAZIONI COI POLINOMI
An(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxm
Bm(x) = b0 + b1x + ... + bmxm
an ≠ 0, bm ≠ 0
SOMMA:
con u = m:
- [Au(x) + Bn(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ... + (an + bn)xn]
Con u ≠ m:
- Am(x) + Bn(x) = [a0 + b0] + (a1 + b1)x + (am + bn)xn + ... + [am xm], [an xn]
ES:
(x2 - 2x - 5) + (x3 - x + 2) =
= 0x3 + x3 + 2x - 5 + (x3 + 0x2 - x + 2) = x3 + x2 + x - 3
Con u ≠ m: il grado di Am + Bn = m
con u = m: il grado di Am + Bn è m
PRODOTTO:
Am(x)Bn(x) = Cn+m(x) =
= C0 + C1x + ... + Cn+mxn+m
- C0 = a0b0
- C1 = a0b1 + a1b0
- C2 = a0b2 + a1b1 + a2b0
- Cu = a0bu + a1bu-1 + a2bu-2 + ... + ak-1bs + akb0
ES:
(x - 1)(x2 + x + 1) = x3 - x - 1 = x3 - 1
DIVISIONE:
Considerando sempre i polinomi visti in precedenza Aₙ(x) e Bₘ(x) con
aₘ≠0 e bₘ/a₀, n≥m, possiamo dare la seguente definizione:
- Detti due polinomi Aₙ di grado "m"; Bₘ di grado "n" tali che n≥m, possono essere identificati in maniera univoca due polinomi: Q(x) ed R(x) che soddisfanoquesta proprietà: il grado di R è "n-m" ed il grado di R è "m" e vale la relazione:
Aₙ(x) = Bₘ(x) . Q(x) + R(x)
Il polinomio Q(x) è il quoziente ed il polinomio R(x) è il resto della divisione.
ESEMPIO
A(x) = 2x4 + x32 x + 2
B(x) = x + 3
Determiniamo il quoziente ed il resto.A è un polinomio di grado 4B è un polinomio di grado 2Questa disposizione e l'uso successivodel determinante. Quindi il grado delquoziente è n-m=2 ed il grado delresto è ≤m=2
DIVISIONE PER POTENZE DECRESCENTI
La divisione esposta precedentemente si svolge così:
x4 + x3 ... x + 2 | x2 + 3
2x | x2 + x - 6
x3 - 6x2 - x + 2
x3 + 3x
1o RESTO PARZIALE (R3 = A - 2x2B)
6x2 - 4x + 2
6x2 - 18
2oRESTO PARZIALE
3o RESTO PARZIALE
DIVISIBILITÀ FRA POLINOMI
An(x) = Bm(x) Ql(x) + Rl(x)
Se Rl(x) = 0 allora An(x) è divisibile per Bm(x)
An(x) è irriducibile se n > 1 e non esistono divisori Bm(x) di An(x) tali che 0 < m < n
I divisori devono essere, quindi, perlomeno di primo grado (es x + 5) ed al pi— di grado n - 1.
CASO SPECIFICO DI DIVISIBILITA' PER IL POLINOMIO
X - C
Scelgo m = 1 e B1(x) = X - C dove C ε R
An(x) = (X - C) Qn-1(x) + n
(n è costante perché di grado zero)
Teorema: An(x) è divisibile per (X - C) se e solo se An(c) = 0
La divisibilità di un polinomio per X - C si determina analizzando e controllando questa condizione: An(c) = 0
Infatti : An(x) = (X - C) Qn-1(x) + n)
n = 0 allora; An(c) = (c - C) Qn(c) + 0
An(c) = 0
Quindi questo dimostra che se An(x) è divisibile per X - C allora An(c) = 0
Vediamo ora il viceversa,
An(x) = (X - c) Qn-1(x) + n
Supponiamo che An(c) = 0 e dobbiamo fare vedere che An è divisibile per x - c.
An(c) = n ma visto che per ipotesi An(c) = 0
si deduce che n = 0. Quindi An(c) = n = 0
Dire che n = 0 è equivalente a dire che
An(x) = (x - c)Qn-1(x) + altro
Quindi c'è la condizione di divisibilità che volevamo.
Il numero "c" che soddisfa l'equazione An(c) = 0 è detto radice o zero del polinomio An(x).
Quindi le radici del polinomio sono le soluzioni dell'equazione An(x) = 0.
Quando consideriamo x = c come divisore, si può calcolare il quoziente con la regola di Ruffini.
Regola di Ruffini
Es. A3(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
A3(x) = (x-c)Q2(x) + r
(x-c) Q2(x) + r = q2x3 (q1-cq2)x2 (q0-cq1)x + (r-cq0)
- q2 = a3
- q1 = a2 + cq2
- q0 = a1 + cq1
- r = a0 + cq0
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