Potenze e radicali

Formulario di matematica

G. Sammito, A. Bernardo, Potenze e radicali

F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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7. Potenze e radicali

7.1 Definizione di potenza

∈ ∈

N R n

Definizione. Dato un naturale , per ogni si definisce l'elevamento a potenza come il

a

n a

prodotto di fattori uguali ad .

n a = ⋅ ⋅ ⋅

n

a a a ... a

n volte = =

1 0

a a a 1

, . Non si assegna alcun valore al

La definizione si estende ai seguenti casi casi particolari

0 .

simbolo 0

Si può definire ricorsivamente come segue: ⎧

1 se n=0

n ⎨

=

a −

⋅ n 1

⎩ se n>0

a a

Il numero si chiama , il numero si chiama .

base esponente

a n

. La definizione si estende anche agli esponenti negativi. Se è un

Potenza con esponente negativo h

∈ R

h a \ {0}

intero negativo, allora la potenza è definita per ogni , e risulta

a 1

h

a = − h

a

− −

3 3 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3

3 2 2 8 1

1 1

− = = = = = =

2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

; .

. ;

5

Esempi 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3

5 25 2

2 3 3 27

. Si estende la definizione anche al caso di esponente razionale,

Potenza con esponente frazionario n

sia un razionale, = , risulta

purché la base sia non negativa. Nel caso in cui l'esponente h

h m

n n

h m

m

a = a = a

3

− 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2

2 − 4 5 125

1 1 2

= = = =

= 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

3

3 .

Esempi . ; ;

3

3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 5 4 64

3 2

3

3

3

Potenza con esponente reale ∈ >

b

Consideriamo la potenza con , .

a a , b 0

b

un numero irrazionale, per definizione di numeri irrazionale, è l’elemento separatore di due

Essendo b

classi contigue di numeri razionali. A partire da esse si costruiscono due altri classi contigue di potenze

con esponente razionale, l’elemento di separazione è proprio la potenza cercata.

2

.

Esempio 3 ⎧

1 1, 4 1, 41 1, 414 1, 4142 ...