I numeri reali. Coordinate sulla retta

Per introdurre i numeri Reali "R" ci occupiamo delle misurazioni delle grandezze geometriche dei segmenti

Se prendiamo una retta di origine "O" e fissiamo un punto "V", possiamo definire il segmento OV un segmento unitario: OV = 1

Assegnato un numero razionale positivo siamo in grado di costruire un segmento che ha come misura quel numero razionale positivo? Questo dobbiamo verificarlo con una dimostrazione geometrica che qui ometto.

Ci limiteremo ad affermare che, assegnato p/q ∈ Q, q positivo, è possibile costruire un segmento OT tale che OT = p/q (sarà precedentemente assegnato un segmento e grandezze unitarie).

All'analista invece interessa affermare che, assegnato un punto O (origine) ed un punto V, assegnabile segnando un punto P qualunque sulle rette, non è possibile che esista sempre un numero razionale positivo tale che OP = a quel numero.

Per introdurre i numeri Reali "R" ci occupiamo delle misurazioni delle grandezze geometriche dei segmenti.

Se prendiamo una retta di origine "O" e fissiamo un punto "V", possiamo definire il segmento OV un segmento unitario - OV = 1

Assegnato un numero razionale positivo siamo in grado di costruire un segmento che ha come misura quel numero razionale positivo? Questa domanda la si può verificare con una dimostrazione geometrica che qui ometto.

Ci limiteremo oggi a affermare che, essendo r ∈ Q, r positivo, è possibile costruire un segmento OP tale che OP = r (era precedentemente assegnato un segmento e grandezze unitarie).

Al contrario invece non sembrerebbe che essendo fissati un punto O (origine) ed un punto V, segmentando un punto P qualunque sulla retta, non è possibile che esista sempre un numero razionale positivo tale che OP = o quel numero.

Quindi la misura OV non è sempre

esprimibile con un numero razionale.

L'insieme Q è troppo limitato.

Per poter sempre dare un numero sul

OP, ci dobbiamo affidare a numeri

Reali –

NUMERI REALI: L'insieme formato dai

numeri razionali ed irrazionali.

In questo insieme riusciremo a trovare per il

segmento OP, un numero che andrà approssimato

per eccesso o per difetto.

PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI:

Anche in R si possono definire le operazioni

di somma e di prodotto. E le proprietà

formali di somma e prodotto sono le stesse

viste per l'insieme Q.

L'insieme R gode di una proprietà

aggiuntiva: la completezza.

COMPLETEZZA: Comunque è esaminato nella

retta reale (ad origine O e segmento unitario OV),

esiste uno ed un solo numero reale

che chiamiamo X tale che la misura

di OP = X.

COORDINATE CARTESIANE SULLA RETTA REALE

semi retta negativa semi retta positiva

O | Q | P

Il punto "0" definisce due semirette: quelle che contiene 0 (semi retta positiva) e quelle che non contiene 0 (semi retta negativa).

DETERMINARE COORDINATE IN UN PUNTO P

Considereremo segmenti non orientati per cui non è importante, ad esempio, scrivere il segmento OP oppure PO.

Detto questo, vedo di prendere la misura del segmento OP = x > 0 (ascisse di P) e vedeo di prendere la misura del segmento OQ = x > 0. Dato che il punto Q si trova nella semiretta negativa, assegneremo sé all'ascissa Q di quel valore -x.

Quindi ottengo che per ogni numero reale positivo è identificato un punto sulla retta semiretta positiva e per ogni numera reale negativo è identificato un punto sulle semiretta negativa.

Si può considerare anche il problema opposto: assegno X ⊂ IN ossiano un punto sulla retta assegnando all'ascissa.

Vediamo qui di seguito di descrivere.

se x = 0 gli assegno l'origine

x ∈ ℝ

• se x > 0 determino un segmento di misura x che ha origine O; andiamo ad assegnare il punto P della semiretta positiva tale che OP = x
• se x < 0 determino un segmento di misura -x che ha come estremo l'origine O e come altro estremo un punto P nella semiretta negativa tale che OP = -x

Nell'insieme dei numeri reali si possono definire gli intervalli con estremi a, b, ovvero tutti i numeri reali la cui ascissa è compresa tra a e b.

• INT. APERTO A SINISTRA (a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}
• INTERVALLO CHIUSO [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
• INTERVALLO APERTO (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
• APERTO A DESTRA [a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}

Allo stesso modo si identificano sottoinsiemi dell'asse reale rappresentati da delle semirette, l'estremo può essere compreso oppure no.

(-∞, e] = {x ∈ &R; x ≤ e}(-∞, e) = {x ∈ &R; x < e}[e, +∞) = {x ∈ &R; x ≥ e}(e, +∞) = {x ∈ &R; x > e}

(6) Un'altra proprietà della retta reale è la distanza fra due punti: A---a---B---b---Nd(A, B) = b - a , AB = b - a

Ragionando con segmenti non orientati, dovremmo sempre specificare se esso è inverso, in tal caso esso la distanza sarebbe data da |e - b|.

Introdurremo allora il concetto di valore assoluto o modulo per semplificare le cose.

Valore assoluto rispetto il numero reale x si definisce valore assoluto di x la quantità x stesso se x ≥ 0 e la quantità -x se x < 0.