Equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

Equazioni e Disequazioni col Valore Assoluto

Il concetto di valore assoluto, per esempio di x, può essere riassunto con queste diciture :

|x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0 }

Il grafico di |x| è di questo tipo:

Per quanto riguarda una funzione f(x), si può scrivere:

|f(x)| = { f(x) se f(x) ≥ 0 -f(x) se f(x) < 0 }

Il grafico della funzione "valore assoluto" coincide col grafico della funzione f(x) nei punti in cui la funzione è ≥ 0 ed il grafico della funzione -f(x) è deducibile dal grafico di f(x) con una opportuna simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

Vediamo ora un esempio qui in seguito:

Equazioni e Disequazioni, con Valore Assoluto

Il concetto di valore assoluto, per esempio di x, può essere riassunto con queste diciture:

|x| = {x se x >= 0

         -x se x < 0

Il grafico di |x| è di questo tipo.

Per quanto riguarda una funzione f(x) si può scrivere:

|f(x)| = {f(x) se f(x) >= 0

          -f(x) se f(x) < 0

Il grafico della funzione "valore assoluto" coincide col grafo della funzione f(x) nei punti in cui la funzione è >0 ed il grafico della funzione -f(x) è deducibile dal grafo di f(x) con una opportuna simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

Vediamo ora un esempio qui in seguito:

Negli insiemi in cui la funzione è negativa otteniamo operato uno simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

Quindi, fino a questo punto, siamo in grado di tracciare la grafica di:

FUNZIONI LINEARI: y = ex+b

QUADRATICHE: y = ex²+bx+c

OMOLOGRAFICHE: y = ^ex+b/_cx+d

E quindi siamo in grado di tracciare i rispettivi grafici delle rispettive funzioni.

Veloce esempio:

y = |ex+b|, y = |ex²+bx+c|, y = |^ex+b/_cx+d|

Equazioni

|f(x)| = c

Non ha soluzioni se c < 0

Quindi devo porre c ≥ 0

Definiamo : Pf = {x ∈ R; f(x) > 0} _{ins. di non negat.}

Nf = {x ∈ R; f(x) < 0} _{ins. di negativita}

Se considerando c ≥ 0 ho quanto sopra:

|f(x)| = c

f(x) = c

f(x) = -c

Esempio.

|x² - 3| = 1

Ottengo graficamente quattro punti (soluzioni) simmetrici rispetto del "0".

Geometricamente opero cosi :

|x² - 3| = 1

x² - 3 = 1 in Pf => (-∞, -√3) ∪ [√3, +∞]

x² = 4; X₁ = -2; X₂ = 2

x² - 3 = -1 in Nf => (-√3, √3)

x² = 2; X₃ = -√2; X₄ = √2

Esempio :

|f(x)| = g(x)

Se g(x) < 0 non ci sono soluzioni dell’equazione in dom f

Se g(x) >= 0

• f(x) = g(x) in Pf
• -f(x) = g(x) in Nf

Nel caso di: |f(x)| = |g(x)|, i casi da considerare sono questi due:

• Pf ∩ Ng (ENTRAMBE POSITIVE) => f(x) = g(x)
• Nf ∩ Ng (ENTRAMBE NEGATIVE) => -f(x) = -g(x) = f(x) = g(x)
• Pf ∩ Nf (POSITIVA f, NEGATIVA g) => -f(x) = g(x)
• Nf ∩ Pg (NEGATIVA f, POSITIVA g) => -f(x) = g(x)

|x² - 2x| = |^x⁄₂ + ¹⁄₄|

x² - 2x = -^x⁄₂ - ¹⁄₄ (−∞, -¹⁄₂)

x² - 2x = ^x⁄₂ + ¹⁄₄ [¹⁄₂, 0]

2x - x² = ^x⁄₂ + ¹⁄₄ (0, 2)

x² - 2x = -^x⁄₂ + ¹⁄₄ [2, +∞)

Dunque il nostro problema si riduce a risolvere l'equazione x² - 2x = -^x⁄₂ - ¹⁄₄ tenendo valide solo le soluzioni che capitano nell'insieme (−∞, -¹⁄₂) ∪ (0, 2) ed a risolvere l'equazione x² - 2x = ^x⁄₂ + ¹⁄₄ tenendo buone le soluzioni

che capiscono nell'intervallo ^[ ₁/₂ ^] ∪ ^[2,+∞^[

Il risultato è che esistono quattro soluzioniaccettabili: ₅±√29/₄, ₃±√5/₄

DISEQUAZIONI

|f(x)| ≤ K         idem per |f(x)| ≤ K

Consideriamo K > 0

Se K = 0 vuol dire che stiamo andando astudiare la funzione |f(x)| ≤ 0, e siccomef(x) non può mai essere strettamenteminore di zero, vorrà dire che rimanesolo il caso f(x) = 0

Se K > 0 |f(x)| ≤ K si traduce così:

f(x) ≤ K in Pf => 0 ≤ f(x) ≤ K

-f(x) ≤ K in Nf => -K ≤ -f(x) ≤ 0

esempio:

|x - 7| < 3

1. 0 < x - 7 < 3
2. -3 < x - 7 < 0

1. 0 < x - 7 => x > 7
   • x < 3 => x < 10

• [7, 10]

1. x - 7 < 0 => x < 7

• -3 < x - 7 => x > 4

• [4, 7]

Soluzioni: [7, 10] U [4, 7] => [4, 10]

Il grafico delle soluzioni e il seguente:

|f(x)| > K

Se K ≤ 0 il modulo di f(x) ≥ di un numero strettamente negativo è sempre vero; la soluzione è l'intero dom f.

Se K > 0 => in Df: f(x) > K in Nf: - f(x) ≥ K => f(x) ≤ -K

esempio: ^|(x-1)/(x+1)^| > 3

(x-1)/(x+1) > 3 => (-2, -1)

(x-1)/(x+1) ≤ -3 => (-∞, -1) ∪ (-1/2)

esempio: ^|x²-4^| ≤ 0

(3x-1)(x+1)

I punti in cui la funzione non è definita sono quelli in cui si annulla il denominatore (zeri) - 3x = x+1 => annulla come unica soluzione 1/2

Quindi f è dom f = R \{1/2}

f(x) ≤ 0 se ^|x²-4^| = 0, x₁ = -2, x₂ = 2

f(x) ≤ 0, dipendendo del denominatore perché il numeratore è sempre positivo