Compito in classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di secondo grado

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Verifica di matematica, classe II liceo scientifico

Equazioni di secondo grado, equazioni frazionarie, equazioni con moduli, disequazioni, sistemi di disequazioni,

disequazioni frazionarie, discussione di equazioni parametriche, applicazioni dei teoremi di Pitagora e Euclide,

problemi risolvibili con equazioni di 2° grado.

1. ; ; ;

2.

3.    

4. 2 2

2 x x 2 x x 8

1   

2

x 3 x 4 0

5. 2

  1

2

x x

  0

 

3

x x



6.  

2

3 4 x 0



7. I coefficienti a e b di un'equazione di secondo grado sono a=3 e b=5 e una

soluzione è . Determina l'altra soluzione e il coefficiente c.

 8. Per quali valori di k l’equazione ha:

a. soluzioni reali; b. la somma delle radici è 2

c. la somma dei reciproci delle radici è 1; d. Una soluzione è 0

e. la somma delle radici sia uguale al loro prodotto.

9. Disegna una semicirconferenza di diametro AB che misura 2r (r è una misura assegnata).

Sia M un punto della semicirconferenza, indica con H il piede della perpendicolare condotta

per M ad AB. Determina la posizione di M (per esempio calcola AH) in modo che si abbia

  .

BM 2 AH

10. In un triangolo equilatero ABC di lato l conduci un segmento di lunghezza x parallelo ad

AB e con gli estremi sugli altri due lati, in modo che il triangolo isoscele che ha per vertice il

punto medio di AB e per base il segmento di lunghezza x sia i 4/25 del triangolo dato.

Determina il valore di x.

11. Il perimetro di un triangolo rettangolo è 12cm. Sapendo che l’ipotenusa è uguale ai 5/7

della somma dei cateti, calcola l’area del triangolo.

12. Un capitale di 12000 € è depositato in banca a un certo tasso di interesse annuale. Alla

scadenza del primo anno gli interessi maturati vengono reinvestiti sullo stesso conto allo

stesso tasso. Alla scadenza del secondo anno si ritira la somma di 12854,70 euro. Qual è

stato il tasso di interesse?

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1. ; ; ;

 

2

a) x 49 0

 49

2

x

Poiché sappiamo che un numero elevato al quadrato sarà sempre positivo, questa

equazione è impossibile, non ha soluzioni.

  49 impossibile

2

x

  

 

  13

b) x 3 x 3

Moltiplichiamo: poiché abbiamo una somma per un prodotto, calcoleremo direttamente il

 quadrato del primo meno il quadrato del secondo applicando il prodotto notevole

somma per differenza:

  

2

x 3 13

 

2

x 13 3



2

x 16

 4

x   

2

c) x 2 3x 4 0

Risolviamo con la formula ridotta:

  

2

b b

   

  ac

 

2 2



x a

  2

 

3 3 4

     

 x 3 3 4 3 7

1

 

2

d) 25x x 0

Raccogliamo la x:

 

 

x 25 x 0

Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:

 

x 0

    

25 x 0 x 25

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2. Impostiamo le condizioni di esistenza:

C.E.

   

x 3 0 x 3

    9

x 9 0 x

Portiamo tutto a sinistra e calcoliamo il minimo comune multiplo, togliendo poi il

denominatore.

  

x 9 x 3

  

2 0

 

x 3 x 9

 

   

   

 

       

x 9 x 9 2 x 3 x 9 x 3 x 3  0

 

 

 

x 3 x 9

    

   

2 2

     

x 9 2 x 3 x 9 x 3  0

 

 

 

x 3 x 9

   18x     

2 2 2

x 8118x 2x 6x 54 x 9 6x  0

 

 

 

x 3 x 9

  

81 54 9 0

  impossibile

144 0



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3. Scomponiamo in fattori:

  

2

x ax 2a 2 x 2a

 

 

 

   

x a x a x a a x

Cambiamo segno all’ultima frazione, affinché il minimo comune multiplo sia uguale:

   

2

x ax 2a 2 x 2a

 

 

 

   a 

x a x a x a x

  

2

x ax 2a 2 x 2a

   0

 

 

   a 

x a x a x a x

 Impostiamo le condizioni di esistenza:

 C.E.

    a

x a 0 x

   

x a 0 x a

Procediamo con il minimo comune multiplo, eliminando poi il denominatore:

    

 

      

2

x ax 2a 2 x a x 2a x a  0

 

 

 

x a x a

        

2 2 2

x ax 2a 2x 2a x 2ax ax 2a 0

x    

2

2a x 2ax 0

    

2

x x 2ax 2a 0

 

  

2

x 1 2a x 2a 0



   

2

Notiamo che il trinomio è un trinomio notevole, cioè della forma . Il

x sx p 0

 coefficiente della x di primo grado è formato dalla somma di due valori, il cui prodotto

 costituisce il termine noto:

 

 

1  

x x 2a 0 

Eseguiamo la legge dell’annullamento del prodotto:

 1   

x 0 x 1

   

x 2a 0 x 2a

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   

4. 2 2

2 x x 2 x x 8

Per risolvere questa equazione, dobbiamo studiare il caso in cui l’argomento del valore

assoluto è minore di zero e quello in cui non è minore di zero:

 

   

2 2

2x x 0 2x x 0

 

o

    (2x    

2 2 2 2

2x x 2x x 8 x) 2x x 8

 

Partiamo dal primo sistema:

 

  

2

2x x 0

    

2 2

2x x 2x x 8

  

2

2x x 0

 

 

x 2 x 1 0

 Studiamo il segno:





x 0 1

1   

2x 0 x 2 1

  

x 0 x 2

 Risolviamo l’equazione:

   

2 2

2x x 2x x 8

    

2 2

2x x 2x x 8 0 

2x    

8 0 x 4

 Il primo sistema sarà quindi

  1

   

 x 0 x

 

S : x 4

2

 

x 4

 

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Passiamo ora al secondo sistema:

  

2

2x x 0



(2x    

2 2

x) 2x x 8

  

2

2x x 0

 

1 

x 2x 0

Studiamo il segno:

 

x 0

 1

 1   

2x 0 x 2 1

 

0 x

Prendiamo l’intervallo in cui è negativo: 2

 Risolviamo l’equazione:

2x    

2 2

x 2x x 8

    

2 2

2x x 2x x 8 0

  

2

4 x 8 0

8

  

2

x 2

4



x 2

Il secondo sistema sarà quindi

  1

  

0 x

 2

  

x 2

 2

Poiché vale circa 1,41 il sistema è impossibil