Concetti Chiave
- Il corpo si muove con una velocità proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso, espressa dall'equazione v=k√x.
- La velocità è descritta come la derivata dello spazio rispetto al tempo, portando all'equazione differenziale dx/dt=k√x.
- Separando le variabili e integrando, si ottiene la relazione tra spazio e tempo: x(t)=k²t²/4.
- Derivando la relazione dello spazio, si trova la velocità in funzione del tempo: v(t)=k²t/2.
- L'accelerazione è costante a=a= k²/2, indicando che la forza che agisce sul corpo è anch'essa costante.
Un corpo si muove di moto rettilineo con velocità proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso.
Dimostrare che il corpo si muove sotto l'effetto di una forza costante. Scrivere poi le relazioni che legano prima lo spazio, poi la velocità , al tempo.L'ipotesi del problema ci dice che
[math]v=k \sqrt x[/math]
dove [math]k[/math]
è una costante di proporzionalità . Ma d'altra parte la velocità è la derivata prima dello spazio, dunque da quella relazione abbiamo l'equazione differenziale: [math]\frac{dx}{dt}=k \sqrt x[/math]
facilmente risolvibile con più di un metodo. Separando le variabili, ad esempio, otteniamo: [math]\frac{dx}{\sqrt x}=k \cdot dt[/math]
Integrando si ha: [math]2 \sqrt x=kt[/math]
ovvero [math]x(t)=\frac{k^2t^2}{4}[/math]
Derivando, otteniamo [math]v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{k^2t}{2}[/math]
e derivando ancora [math]a=\frac{dv}{dt}=\frac{k^2}{2}[/math]
. E' chiaro che l'accelerazione è costante, pertanto la forza cui il corpo è sottoposto dovrà ugualmente essere costante. FINE
Domande da interrogazione
- Qual è la relazione tra la velocità e lo spazio percorso dal corpo?
- Come si ottiene l'equazione che lega spazio e tempo?
- Qual è la conclusione riguardo alla forza che agisce sul corpo?
La velocità del corpo è proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso, espressa dalla formula \(v = k \sqrt{x}\), dove \(k\) è una costante di proporzionalità.
Separando le variabili dall'equazione differenziale \(\frac{dx}{dt} = k \sqrt{x}\) e integrando, si ottiene la relazione \(x(t) = \frac{k^2 t^2}{4}\).
Poiché l'accelerazione, calcolata come \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{k^2}{2}\), è costante, si conclude che la forza cui il corpo è sottoposto deve anch'essa essere costante.
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