Accelerazione dei sistemi complessi e quantità di moto

SteDV
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Esplora l'accelerazione nei sistemi complessi di punti materiali e la quantità di moto. Approfondisci la Seconda legge di Newton, il centro di massa e le interazioni dinamiche, per una comprensione approfondita delle leggi fondamentali della fisica moderna.

Concetti Chiave

  • Il centro di massa di un sistema di particelle è governato dalla Seconda legge di Newton, con la formula F_net = M a_cdm.
  • La quantità di moto, o momento lineare, di un corpo è definita come il prodotto tra la sua massa e la velocità, espressa come q = m v.
  • La quantità di moto di un corpo varia solo in presenza di una forza risultante non nulla; in assenza di forze, essa rimane costante.
  • Per un sistema complesso, la quantità di moto complessiva è la somma delle quantità di moto dei singoli punti materiali e si calcola come Q = M v_cdm.
  • La forza risultante applicata a un sistema è uguale alla derivata della quantità di moto complessiva, formulata come F_net = dQ/dt.

L’accelerazione dei sistemi complessi

Considerato un generico sistema di particelle (punti materiali) di massa complessiva

[math]M[/math]
, il centro di massa è il solo punto il cui moto è governato, sempre e comunque, dalla Seconda legge di Newton. In altre parole:

[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm}[/math]
[math]F_{net,x} = M a_{cdm,x} \text{; } F_{net,y} = M a_{cdm,y} \text{; } F_{net,z} = M a_{cdm,z}[/math]

NOTA: si considera un sistema chiuso, tale per cui la massa complessiva non varia per effetto del moto o delle forze esterne.
Tale affermazione si dimostra algebricamente, considerando un sistema di

[math]n[/math]
particelle. di massa complessiva
[math]M[/math]
, il cui centro di massa è individuato dal vettore posizione
[math]\textbf{r}_{cdm}[/math]
.

[math]M\textbf{r}_{cdm} = m_1 \textbf{r}_1 + m_2 \textbf{r}_2 + … + m_n \textbf{r}_n [/math]

Poiché la velocità corrisponde alla derivata rispetto al tempo della posizione e l’accelerazione, a sua volta, è la derivata rispetto al tempo della velocità, risulta:

[math]M \textbf{v}_{cdm} = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n \text{ con } \textbf{v}_i = \frac{d \textbf{r}_i}{dt} \text{ e } \textbf{v}_{cdm} = \frac{d\textbf{r}_{cdm}}{dt}[/math]

[math]M \textbf{a}_{cdm} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n \text{ con } \textbf{a}_i = \frac{d \textbf{v}_i}{dt} \text{ e } \textbf{a}_{cdm} = \frac{d\textbf{v}_{cdm}}{dt}[/math]

In applicazione della Seconda legge di Newton, i termini

[math]m_i \textbf{a}_i[/math]
corrispondono alla risultante delle forze agenti su ciascuna particella del sistema considerato.
La somma vettoriale di tali forze è la risultante rispetto all’intero sistema, per cui:

[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm} = \textbf{F}_{net,1} + \textbf{F}_{net,2} + … + \textbf{F}_{net,n} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n[/math]

Quantità di moto

L’analisi fisica degli urti e, più in generale, dell’interazione dinamica tra i corpi, richiede l’introduzione di una grandezza chiamata quantità di moto o momento lineare.
Si tratta di una grandezza vettoriale che misura la capacità di un corpo di modificare il moto degli oggetti con i quali entra in contatto e risulta dal prodotto tra la massa

[math]m[/math]
del corpo stesso e la sua velocità
[math]\textbf{v}[/math]
.

[math]\textbf{q} = m \textbf{v}[/math]

NOTA: per definizione, la quantità di moto si misura in chilogrammi per metro al secondo (kg • m/s); il vettore

[math]\textbf{q}[/math]
ha direzione e verso uguali al vettore velocità
[math]\textbf{v}[/math]
, essendo la massa m una grandezza scalare sempre positiva.
La quantità di moto di un corpo dipende direttamente dalla forza risultante applicata ad esso ed ogni sua variazione è proporzionale a quest’ultima. Infatti (richiamando la Seconda legge di Newton):

[math]\textbf{F}_{net} = m \textbf{a} = m \frac{d \textbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \textbf{v} = \frac{d\textbf{q}}{dt})[/math]

Si ricava che la quantità di moto di un corpo varia esclusivamente in applicazione di una forza risultante non nulla; in caso contrario, risulta costante.

Quantità di moto di sistemi complessi

Dato un sistema complesso di

[math]n[/math]
punti materiali, ognuno dei quali dotato di propria massa
[math]m_i[/math]
e velocità vi, la quantità di moto complessiva
[math]\textbf{Q}[/math]
di tale sistema risulta dalla somma vettoriale delle quantità di moto
[math]q_i[/math]
associate a ciascuno dei punti materiali componenti.
Essa è pari al prodotto tra la massa complessiva M del sistema e la velocità del suo centro di massa vcdm.

[math]\textbf{Q} = \textbf{q}_1 + \textbf{q}_2 + … + \textbf{q}_n = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n = M \textbf{v}_{cdm}[/math]

La forza risultante

[math]\textbf{F}_{net}[/math]
applicata all’intero sistema è pari alla derivata della quantità di moto complessiva:

[math]\textbf{F}_{net} = \frac{d\textbf{Q}}{dt}[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il ruolo del centro di massa in un sistema di particelle?

    2. Il centro di massa è l'unico punto il cui moto è governato dalla Seconda legge di Newton, con la relazione [math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm}[/math], dove M è la massa complessiva del sistema.

  2. Come si calcola la quantità di moto di un corpo?

    3. La quantità di moto, o momento lineare, di un corpo si calcola come il prodotto tra la massa [math]m[/math] e la velocità [math]\textbf{v}[/math], espressa dalla formula [math]\textbf{q} = m \textbf{v}[/math].

  3. In che modo la forza risultante influisce sulla quantità di moto?

    4. La quantità di moto di un corpo varia esclusivamente in presenza di una forza risultante non nulla; in assenza di forze, essa rimane costante, come indicato dalla Seconda legge di Newton [math]\textbf{F}_{net} = \frac{d\textbf{q}}{dt}[/math].

  4. Come si determina la quantità di moto di un sistema complesso di particelle?

    5. La quantità di moto complessiva [math]\textbf{Q}[/math] di un sistema complesso è la somma vettoriale delle quantità di moto di ciascun punto materiale, ed è pari a [math]\textbf{Q} = M \textbf{v}_{cdm}[/math], dove M è la massa complessiva e [math]\textbf{v}_{cdm}[/math] è la velocità del centro di massa.

  5. Qual è la relazione tra la forza risultante e la quantità di moto di un sistema?

    6. La forza risultante applicata all'intero sistema è pari alla derivata della quantità di moto complessiva, espressa dalla formula [math]\textbf{F}_{net} = \frac{d\textbf{Q}}{dt}[/math], evidenziando come la forza influenzi il cambiamento della quantità di moto.

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