Problema di fisica con i vettori

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Esplora l'applicazione dei vettori nel calcolo dello spostamento delle lancette di un orologio. Analizza il movimento tra le 3 e le 5, utilizzando un sistema di riferimento cartesiano per comprendere a fondo il problema e le sue soluzioni.

Concetti Chiave

  • Il problema riguarda la rappresentazione e il calcolo del vettore spostamento della lancetta di un orologio analogico tra le ore 3 e 5 nel sistema di riferimento cartesiano.
  • La lancetta è rappresentata come un vettore lungo 1 cm, con l'origine nel centro dell'orologio e l'asse x diretto verso le ore 3.
  • L'angolo percorso dalla lancetta tra le ore 3 e 5 è di 60°, corrispondente a 2/3 del quarto quadrante.
  • La lunghezza del vettore spostamento, rappresentato dal triangolo equilatero AOB, misura 1 cm.
  • La lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta è calcolata in 1,05 cm, usando una proporzione basata sulla lunghezza dell'arco di ciascun quadrante.

In questo appunto viene risolto un problema sull’utilizzo dei vettori che prevede la rappresentazione dei vettori in un sistema di riferimento, il calcolo del modulo di un vettore, in particolare il calcolo della lunghezza del vettore spostamento e il calcolo del percorso effettuato dalla punta del vettore.

Testo del problema

La lancetta delle ore di un orologio analogico è lunga
[math]1 cm[/math]
, e si sposta fra le
[math]3[/math]
e le
[math]5[/math]
. Scegli un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel centro dell'orologio, l'asse
[math]x[/math]
diretto verso le
[math]3[/math]
e l'asse
[math]y[/math]
diretto verso le
[math]12[/math]
.
  • Rappresenta la lancetta con un vettore e disegna il vettore spostamento della sua estremità;
  • calcola l'intensità del vettore spostamento della lancetta;
  • quanto vale la lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta?

Svolgimento (1)

Possiamo rappresentare la situazione descritta dal problema in questo modo:

Il disegno rappresenta un piano cartesiano composto dagli assi x (asse orizzontale o asse delle ascisse) e asse y (asse verticale o asse delle ordinate) disposti in modo perpendicolare; il piano cartesiano ha come origine degli assi il centro dell’orologio, tale punto viene chiamato O’ e corrisponde al centro del sistema di riferimento considerato.

Ripasso sui vettori

Tracciamo una circonferenza di raggio pari alla lunghezza delle lancette, perciò di raggio pari a 1cm.
All’intersezione della circonferenza con gli assi cartesiani si individuano i punti corrispondenti alle ore 12 (punto in alto, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte positiva dell’asse delle y), alle ore 3 (punto a sinistra, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte positiva dell’asse delle x), alle ore 6 (punto in basso, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte negativa dell’asse delle y) e alle 9 (punto a sinistra, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte negativa dell’asse delle x).

In fisica esistono due principali tipi di grandezze:

  • vettori
  • scalari
Uno scalare è una grandezza caratterizzata unicamente da un numero; a volte in fisica è importante specificare ad esempio la direzione relativa a tale numero, a tal proposito vengono quindi introdotti i vettori.
Ricordiamo che un vettore è una grandezza fisica rappresentata da una freccia e caratterizzata da: il modulo (lunghezza della freccia), la direzione (disposizione della freccia dello spazio) e dal verso (direzione in cui punta la punta della freccia).
Per descrivere in modo univoco e completo un vettore è quindi necessario specificare il suo modulo, la sua direzione e il suo verso.
I vettori in genere vengono utilizzati per descrivere degli spostamenti o delle forze.

Rappresentiamo ora i vettori che corrispondono alla posizione della lancetta alle ore 3 (vettore che ha origine nel centro del sistema di riferimento e che termina sulla circonferenza, chiamiamo questo punto con la lettera A); tale vettore può essere chiamato

[math]\overrightarrow{O’A}[/math]

Il vettore che corrisponde alla posizione della lancetta alle ore 5 è invece inclinato ed è contenuto nel quarto quadrante, se chiamiamo il punto in cui tale vettore interseca la circonferenza con la lettera B, tale vettore può essere chiamato

[math]\overrightarrow{O’B}[/math]

Il vettore spostamento corrisponde al vettore che unisce le punte dei due vettori, tale vettore corrisponde a

[math]\overrightarrow{AB}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui vettori e sulle loro proprietà vedi anche qua

Svolgimento (2)

Abbiamo rappresentato il vettore spostamento in blu, che rappresenta lo spostamento dell'estremità della lancetta dell'orologio dalle ore
[math]3[/math]
alle
[math]5[/math]
.

Sappiamo che il quarto quadrante del piano cartesiano contiene le ore

[math]4[/math]
e le ore
[math]5[/math]
, quindi può essere suddiviso in tre settori circolari:

Poiché la lancetta arriva fino alle ore

[math]5[/math]
, percorre i
[math]2/3[/math]
del quarto quadrante. Ogni quadrante è
[math]1/4[/math]
di circonferenza, di conseguenza ha un angolo di
[math]90°[/math]
.

Troviamo quindi, impostando una proporzione, l'ampiezza dell'angolo

[math]\alpha[/math]
:

[math] 90° : \alpha = 3 : 2 [/math]

[math] \alpha = \frac{90 \cdot 2}{3} = 60° [/math]

Dal momento che i segmenti

[math]AO[/math]
e
[math]BO[/math]
sono uguali, e valgono
[math]1cm[/math]
, poiché sono i raggi della circonferenza, possiamo affermare che il triangolo
[math]AOB[/math]
è equilatero.

Di conseguenza, anche il lato

[math]AB[/math]
, che corrisponde al vettore spostamento
[math] \overrightarrow{v}[/math]
, misura
[math]1cm[/math]
.

Svolgimento (3)

Possiamo impostare una proporzione per calcolare la lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta.

Calcoliamo prima la lunghezza della circonferenza:

[math] C = 2πr = 2 \cdot 3,14 \cdot 1 = 6,28 cm [/math]

Dividendo questo valore per il numero dei quadranti, otteniamo la lunghezza dell'arco di ciascun quadrante:

[math] l_a = \frac{6,28}{4} = 1,57 cm [/math]

Impostiamo la proporzione:

[math] 1,57 : AB = 3 : 2 [/math]

[math] AB = \frac{1,57 \cdot 2}{3} = 1,05 cm [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni e sul metodo da utilizzare per risolvere vedi anche qua

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la lunghezza della lancetta dell'orologio e come viene rappresentata nel sistema di riferimento?

    2. La lancetta dell'orologio è lunga 1 cm e viene rappresentata come un vettore in un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro dell'orologio.

  2. Come si calcola l'intensità del vettore spostamento della lancetta?

    3. L'intensità del vettore spostamento, che unisce le punte dei vettori alle ore 3 e 5, è di 1 cm, poiché il triangolo formato è equilatero.

  3. Qual è l'ampiezza dell'angolo percorso dalla lancetta tra le ore 3 e 5?

    4. L'ampiezza dell'angolo percorso dalla lancetta è di 60°, poiché percorre 2/3 del quarto quadrante.

  4. Come si calcola la lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta?

    5. La lunghezza del cammino è calcolata dividendo la lunghezza totale della circonferenza (6,28 cm) per il numero dei quadranti, ottenendo 1,57 cm per quadrante, e poi applicando una proporzione per trovare l'arco percorso.

  5. Qual è la lunghezza dell'arco percorso dalla lancetta tra le ore 3 e 5?

    6. La lunghezza dell'arco percorso dalla lancetta è di 1,05 cm, calcolata tramite proporzione rispetto alla lunghezza dell'arco di un quadrante.

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