Campo elettrico generato da un quarto di circonferenza

_Steven
di _Steven
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Scopri come calcolare il campo elettrico generato da un quarto di circonferenza carico uniformemente. Questo appunto di fisica illustra l'uso del calcolo integrale per analizzare sorgenti continue e ottenere risultati precisi nel centro del sistema.

Concetti Chiave

  • Il problema riguarda il calcolo del campo elettrico generato da un filo carico a forma di quarto di circonferenza con densità lineare di carica.
  • Il filo è posizionato nel primo quadrante, con il centro nell'origine, e viene diviso in parti infinitesime per facilitare l'integrazione.
  • La componente del campo elettrico lungo l'asse delle x è espressa tramite un'integrazione del coseno da 0 a π/2.
  • Il risultato dell'integrazione porta a un'espressione per il campo elettrico che tiene conto della simmetria del sistema.
  • La relazione tra le componenti del campo elettrico mostra che E_x è uguale a E_y, consentendo di ottenere l'espressione finale del campo elettrico nel punto centrale.

In questo appunto andremo a calcolare il campo elettrico generato da un filo a forma di quarto di circonferenza carico uniformemente. Dal momento che la sorgente è continua e non discreta (quindi formata da un insieme di infiniti punti a distanza infinitesima tra loro), non sarà sufficiente fare una somma ma dovremo invece integrare. Vediamo ora il testo dell'esercizio.

Testo dell'esercizio

Un tratto di filo rigido sottile, uniformemente carico con densità lineare di carica
[math]\lambda[/math]
, è sagomato in modo da formare un quarto di circonferenza di raggio
[math]R[/math]
e centro
[math]O[/math]
. Calcolare il campo elettrico nel centro
[math]O[/math]
.

Soluzione dell'esercizio

Poniamo il filo nel primo quadrante con centro nell'origine. Dividiamo il filo in parti infinitesime di lunghezza
[math]r \cdot d\theta[/math]
perché la lunghezza dell'arco di circonferenza è data proprio da
[math]r \theta [/math]
, ma in questo caso prenderemo un angolo infinitesimo, appunto.
Si ha che la componente infinitesima del campo elettrico lungo l'asse delle x è data da:

[math]dE_x=\frac{dq \cdot \cos \theta }{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^2}=\frac{\lambda \cdot d \theta \cdot \cos \theta}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]

Integrando da

[math]0[/math]
a
[math]\frac{\pi}{2}[/math]
si ottiene l'espressione:

[math] E_x=\frac{\lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} \int_0^{\pi/2} \cos \theta d \theta =\frac{lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]

Essendo inoltre

[math]E_x=E_y=\frac{E}{\sqrt{2}}[/math]
si ha:

[math]E=\sqrt2 \cdot E_x=\frac{\sqrt2 \cdot \lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]

Nota: In questo esercizio è stato necessario integrare il coseno, ovvero trovare una sua primitiva. Si osserva che

[math]\sin(x)[/math]
è una primitiva di questa funzione, in quanto
[math]\sin(x)' = \cos(x)[/math]
.

Domande da interrogazione

  1. Come si calcola il campo elettrico generato da un filo a forma di quarto di circonferenza?

    2. Il campo elettrico si calcola integrando la componente infinitesima del campo elettrico lungo l'asse delle x, considerando un filo carico uniformemente e dividendo il filo in parti infinitesime. L'integrazione avviene da 0 a \(\frac{\pi}{2}\) per ottenere l'espressione finale del campo elettrico nel centro.

  2. Qual è l'importanza della densità lineare di carica \(\lambda\) nel calcolo del campo elettrico?

    3. La densità lineare di carica \(\lambda\) è fondamentale poiché determina l'intensità del campo elettrico generato dal filo. Essa appare nell'espressione finale del campo elettrico, influenzando direttamente il risultato del calcolo.

  3. Perché è necessario integrare il coseno durante il calcolo del campo elettrico?

    4. È necessario integrare il coseno per trovare la componente del campo elettrico lungo l'asse x, poiché si sta considerando un angolo infinitesimo. La primitiva del coseno, che è il seno, viene utilizzata per completare l'integrazione e ottenere il valore finale del campo elettrico.

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