Concetti Chiave
- La trasformata di Laplace viene utilizzata per analizzare sistemi continui, lineari e invarianti nel tempo, trasformando funzioni del tempo in funzioni nel dominio delle variabili complesse.
- Nei sistemi algebrici, l'uscita è proporzionale all'ingresso tramite una costante, mentre nei sistemi dinamici l'uscita dipende anche dallo stato iniziale del sistema.
- Nei sistemi dinamici, il legame tra ingresso e uscita è governato da un'equazione differenziale, risolvibile tramite la trasformata di Laplace.
- L'Anti trasformata di Laplace, indicata con L^(-1), permette di convertire funzioni dal dominio complesso al dominio del tempo.
- Le funzioni trasformate vengono rappresentate con lettere maiuscole per distinguerle dalle loro controparti nel dominio del tempo.
Trasformata di Laplace
Si prenda in considerazione un sistema continuo (segnali di tipo analogico) e si supponga inoltre che tale sistema sia lineare e di tipo invariante; a questo punto sono possibili due situazione:
-Il segnale di uscita ha un andamento nel tempo esattamente identico a quello di ingresso
-Il segnale di uscita ha un andamento diverso da quello di ingresso
Il primo caso descrive il comportamento di un sistema algebrico, ossia privo di elementi capaci di accumulare energia: l’uscita è determinabile moltiplicando l’ingresso per una costante reale.
Il secondo caso descrive, invece, il comportamento di un sistema dinamico, ossia con componenti in grado di accumulare energia (ad esempio un circuito elettrico comprendente induttanze).
Occorre aggiungere che, nei sistemi dinamici, l’andamento dell’uscita dipende, oltre che dalla funzione i(T), anche dallo stato del sistema all'istante iniziale.
Nei sistemi dinamici il legame tra uscita e ingresso è costituito da un equazione differenziale; la soluzione a questa equazione differenziale è una funzione (ad esempio una funzione esponenziale).
Bisogna eseguire quindi una trasformazione che consiste nel sostituire alle funzioni definite nel dominio, funzioni definite nel dominio di una variabile complessa. La trasformazione è ottenuta applicando alle funzioni definite nel tempo, un operatore matematico definito “trasformata di Laplace”.
C’è poi anche un operatore chiamato “Anti trasformata di Laplace”, che consente il passaggio inverso, associando una funzione F(s) una funzione f(T).
L’operatore di Anti Trasformata è indicato dalla notazione L^(-1)
Dopo la trasformazione il legame tra uscita e ingresso torna ad essere di tipo algebrico.
Da ricordare che per distinguere le funzioni del tempo dalle corrispondenti “L - trasformate”, si usa rappresentare le funzioni trasformate con la lettera maiuscola.
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