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Filtri attivi


Abbiamo già parlato dei filtri attivi e passivi, adesso prendiamo e analizziamo un filtro "passa-basso" attivo costruito tramite un amplificatore operazionale.
Il circuito prende anche il nome di "Integratore Reale".

integratore-reale



Per limitare il guadagno alle basse frequenze in un integratore invertente si inserisce un resistore
[math]R_2[/math]
in parallelo al condensatore di reazione
[math]C[/math]
come illustrato nel circuito soprastante.


Applicando il metodo di Laplace determiniamo la funzione di trasferimento, ovvero:
[math]G\left(s\right)=\frac{V_0\left(s\right)}{V_i\left(s\right)}[/math]
quindi:

[math]G\left(s\right)=\frac{R_2//\frac{1}{sC}}{R}=-\frac{\frac{R_2}{1+sR_2C}}{R}=\frac{\frac{R_2}{R}}{1+sR_2C}[/math]


Se vediamo il tutto nel regime sinusoidale, quindi poniamo
[math]s=j\omega[/math]
e valutiamo il modulo e la fase della funzione di risposta
[math]G\left(j\omega\right)[/math]


MODULO:

[math]\left|G\left(\omega\right)\right|=\frac{\frac{R_2}{R}}{\sqrt{1+\left(\omega R_2C\right)^2}}[/math]
;

in
[math]dB[/math]
si ha:
[math]\left|G\left(\omega\right)\right|_{dB}=20log\frac{R_2}{R}-20Log\sqrt{1+\left(\omega R_2C\right)^2}[/math]



FASE:

[math]\varphi=-180^\circ-arctan\left(\omega RC\right)[/math]



Alla frequenza di taglio
[math]f_s[/math]
il modulo dell'amplificatore si riduce di
[math]\sqrt2[/math]
per cui deve essere
[math]\omega_s R_2C=1[/math]
; ma siccome
[math]\omega_s=2\pi f_s[/math]
e quindi si ha:


[math]f_s=\frac{1}{2\pi R_2C}[/math]


Alle basse frequenze, al limite per
[math]f=0[/math]
il condensatore è uguale ad un ramo aperto e, il circuito si comporta come un amplificatore invertente con guadagno in banda piatta pari a
[math]\left|G\left(\omega\right)\right|=\frac{R_2}{R}[/math]

e ha uno sfasamento tra uscita ed ingresso pari a
[math]-180^\circ[/math]
.
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