Il sole, un amico caloroso

E

√ 2

" #

2 2

−

E

b b x a x a x

Z  

2 2

−

AREA = + a x dx = + arcsin =

T HE a a 2 2 a

H 

 H

√

2 2

( " #)

2 2

−

b a H a H

π H H

· −

= + arcsin

a 2 2 2 2 a

ricordando

E = OE = a −

H = OH = ρcos(α) ea

quindi √

2 2

( " #)

2 2

−

1 b a π H a H H H

2 · −

AREA = ρ sin(α)cos(α) + + arcsin

T SE 2 a 2 2 2 2 a

Questa ultima formula è valida solo per il periodo estivo (in riferimento all’esem-

o o

pio di figura 1.2 e 1.7): noto il valore di α (compreso tra 0 e 90 ), restituisce il

valore dell’area del settore ellittico coperto dal raggio vettore. Noi volevamo invece

il contrario: considerati i giorni dal Solstizio Estivo e moltiplicati per l’area giorna-

liera (costante) ricavare l’angolo α che sottendeva il settore ellittico equivalente.

Basterebbe scrivere l’ultima equazione in maniera inversa ed esplicitare α, ma

ciò risulta complesso (forse impossibile a partire dalla formulazione dell’ultima equa-

zione).

Un metodo, per nulla elegante, di ricavare il valore di tale angolo, noto il valore

di AREA , è quello di utilizzare un programma che calcoli il valore di AREA

T SE T SE

più prossimo a quello reale facendo variare α con un ciclo di passo legato all’errore

che si è disposti ad accettare tra il valore vero dell’area del settore (corrispondente al

vero α) e quello approssimato (ottenuto con valori di α crescenti che rappresenterà

il valore α trovato).

In maniera analoga si possono ricavare formule per le altre stagioni, corrispon-

denti ad intervalli di valori di α differenti, valori ricavabili sempre con il ’metodo di

forza’. 13

1 – Il Sole: un amico caloroso

In questo modo abbiamo legato (con la forza) la data introdotta e l’angolo α (

che separa il raggio vettore corrispondente dal semiasse di riferimento: quello del

Solstizio Estivo) considerando la II legge di Keplero.

Possiamo valutare l’evoluzione dello spostamento giornaliero in gradi della Terra

nell’Eclittica, osserviamo che i valori massimi si hanno in prossimità del perielio

(Solstizio d’Inverno). I valori sono stati ottenuti con il metodo appena descritto,

o

dove α è stato fatto variare con passo di 1 secondo (0,00027 ), l’andamento semes-

trale 21-6—23-12 è monotono crescente, quello 23-12—21-6 monotono decrescente.

Evoluzione dell"angolo giornaliero sul piano dell"Eclittica(II legge Keplero)

1.03

1.02 dic gen

nov

1.01 feb

1 ott

Gradi 0.99 mar

set

0.98 apr

0.97 ago mag

0.96 lug giu

0.95 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Giorni dal Solstizio d"Estate (21-6)

Figura 1.8.

14

1 – Il Sole: un amico caloroso

Ore di Illuminazione del luogo in un anno: confronto orbite

16 Circolare

Ellittica

15

14

13

12

11

10

9

8 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Figura 1.9.

Ecco (figura 1.9) come varia l’evoluzione delle ore di illuminazione del luogo

(sempre Foglizzo Canavese (To)) in un anno a seconda che si consideri l’orbita

circolare od ellittica, la differenza soltanto lieve è dovuta alla piccola eccentricità

dell’orbita (0,017). 15

1 – Il Sole: un amico caloroso

1.4 Altezza del Sole a mezzogiorno

Volendo inoltre ricavare l’altezza del Sole sull’orizzonte a mezzogiorno (ov-

viamente per la data e la latitudine considerate), si può operare nel modo seguente:

con riferimento alla figura 1.10 ed alla situazione di figura 1.1 (ovvero un giorno

d’estate): zona

d’ombra

α visione

Fig 1.10.a dall’alto

N C S

y . F

x α . Eq

F’

α D

N

S zona

δ

B L d’ombra

α

. L

A F C

Fig 1.10.b visione

laterale

S

z’ y’ x’

z’ = z FF’ proiezione della circonferenza disegnata dalla rotazione

x’ = x cos(α) del punto in 24 ore attorno all’asse terrestre

y’ = y cos(90°-α) Figura 1.10.

Incominciamo a considerare la posizione del punto, di latitudine introdotta, a

mezzogiorno; la proiezione più utile è quella riportata in figura 1.10.b (in modo che

il punto di trovi esattamente sulla circonferenza che è la proiezione della Terra). Per

angolo di inclinazione sull’orizzonte ci riferiamo a quello individuato dei raggi solari

e dal piano tangente al punto F, che con riferimento alla figura 1.10.b chiamiamo

AB̂F . 16

1 – Il Sole: un amico caloroso

I triangoli ABF e ADC sono simili in quanto entrambi retti per costruzione ed

aventi l’angolo  in comune.

Si ricava facilmente che l’angolo AB̂F è congruente a α

¯ + δ dove:

L L

• α

¯ è l’angolo complementare della latitudine introdotta del luogo considerato.

L

• δ è l’angolo che separa il polo Nord dalla circonferenza luce ombra e con riferi-

L

mento alla figura 1.4.c possiamo calcolarlo poiché b (semiasse minore dell’ellisse

ottenuto dalla proiezione della circonferenza luce ombra sempre per la figura

b

1.4.c) ne rappresenta il seno, quindi δ = arcsin( ) dove R è il raggio terrestre.

L R

Inoltre essendo b legato ad α (angolo sotto cui i raggi solari illuminano la Terra

nel particolare giorno introdotto), anche l’angolo di incidenza dei raggi del Sole a

mezzogiorno AB̂F è legato alla posizione della Terra nell’orbita celeste (ovvero nel

periodo dell’anno considerato).

Altezza Sole a mezzogiorno su tutta la Terra fissato il giorno

100 Altezza Sole a mezzogiorno

Latitudine introdotta

80

60

Gradi 40

20

0

-20

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Latitudine in gradi (pos=N, neg=S)

Figura 1.11.

o

(sempre riferito a Foglizzo Canavese lat 45 16’ N, giorno 25/7)

17

1 – Il Sole: un amico caloroso

Altezza del Sole a mezzogiorno in gradi

gradi = 64 primi = 21 Altezza del Sole a mezzogiorno nel luogo in un anno

70 giu lug

65 mag

60 ago

55 apr

50 set

Gradi 45 mar

40 ott

35 feb

30 nov

gen

25 dic

20 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Giorni dell"anno da 23/12 a 23/12, il puntino rosso separa i mesi

Figura 1.12.

18

1 – Il Sole: un amico caloroso

1.5 Altezza del Sole nella giornata

Possiamo chiederci come varia l’altezza del Sole sull’orizzonte nell’arco della

giornata (data introdotta) alla latitudine considerata. Con riferimento alla figura

1.4.c e cambiando il sistema di riferimento consideriamo fissa la Terra ed il Sole le

ruoti intorno (moto apparente). Vedi Sfera Celeste fig. 1.13

• L’arco di circonferenza descritta dall’astro giace su un piano inclinato rispetto

a quello dell’orizzonte di un angolo pari all’angolo complementare della latitu-

dine del luogo considerato α .

lat

• Il centro di questa circonferenza si trova su una retta inclinata rispetto alla

verticale (Z = Zenit) di un angolo pari ad α e si sposta su questa durante

lat

l’anno.

• Durante l’anno il Sole descrive archi giornalieri di ampiezza variabile compresi

tra quello estivo e quello invernale. Z P

N

estate W

equinozio α

inverno lat

.

C estate

C

.

S N

equinozio

.

C inverno

E

Figura 1.13.

dove: 19

1 – Il Sole: un amico caloroso

• C ,C ,C sono i centri delle circonferenze descritte dal Sole (mo-

estate equinozio inverno

to apparente)

• Z è lo zenit, ovvero la verticale condotta dal punto di osservazione

• P indica la direzione del polo Nord, è quindi separato dallo zenit dall’angolo

N

α lat

Considerando per semplicità il periodo Primavera-Estate, con riferimento alla figura

1.14, in un generico istante della giornata il Sole si troverà nel punto P ad un’altezza

di δ gradi sull’orizzonte. La nostra incognita è proprio δ:

Z α P

M lat N

R

r W ϑ

2

α o r

r . C

P . estate

R α R

δ O

. lat

S . N

R I

r

ϑ

.

K 2

R

E

Figura 1.14.

• L’angolo descritto dalla rotazione (apparente) del Sole è quindi pari all’angolo

o

di illuminazione (in figura 1.4.c = 180 + 2θ vedi anche fig. 1.14)

2

20

1 – Il Sole: un amico caloroso

• La retta di intersezione dei piani e la distanza OC sono funzione dell’an-

estate

golo di illuminazione: il sorgere ed il tramonto del Sole sono specifici di ogni

singolo giorno e devono giacere sull’intersezione di tali piani

• α è angolo che lega il Sole con l’ora del giorno, il riferimento è il mezzodı̀

o

• C M = r = raggio della circonferenza descritta dal Sole, varia durante

estate

l’anno di giorno in giorno OC

estate

O P C = arctg

b estate r

· ·

OC = r sin(θ ) tg(α )

estate 2 lat

·

O P C = arctg[sin(θ ) tg(α )]

b estate 2 lat r

R r

= =

sin(π/2) −

sin(π/2 O P C ) cos(O P C )

b b

estate estate

· ·

r = R cos{arctg[sin(θ ) tg(α )]}

2 lat

quindi possiamo esprimere OC come

estate

· · ·

OC = R sin(O P C ) = R sin{arctg[sin(θ ) tg(α )]}

b

estate estate 2 lat

E dalla proiezione laterale otteniamo (fig. 1.15):

21

1 – Il Sole: un amico caloroso

Z α P

lat N

M P

. r

R α lat .

W . C estate

δ O

. .

S N

R

K Figura 1.15.

• l’angolo δ = P ÔK è la nostra incognita

• in particolare PK = PW + WK

· ·

P W = r cos(α ) sin(α )

o lat

·

W K = OC cos(α )

estate lat

• quindi l’angolo PK

P ÔK = arcsin R

δ = P ÔK

{cos[arctg(sin(θ

δ = arcsin )tg(α ))]cos(α )sin(α ) + sin[arctg(sin(θ )tg(α ))]cos(α )}

2 lat o lat 2 lat lat

o

Con questa formula, facendo variare l’angolo α (ricordandosi che ogni 15 ab-

o

biamo una variazione di un’ora) otteniamo l’evoluzione dell’altezza in gradi del Sole

in funzione dell’ora del giorno considerata