Home Invia e guadagna
Registrati
 

Password dimenticata?

Registrati ora.

Informatica - calcolo numerico

Esercizi e soluzioni interpretati secondo il metodo dei minimi quadrati per Informatica. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Costruite una rettache interpoli i dati in tabella; Trovare un’equazioneper tale retta.

  • Per l'esame di Informatica del Prof. -. Non Definito
  • Università: La Sapienza - Uniroma1
  • CdL: Corso di laurea in informatica
  • SSD:
Compra 2.99 €

Voto: 5 verificato da Skuola.net

  • 1
  • 18-01-2013
di 11 pagine totali
 
+ -
 
>
Informatica - calcolo numerico
Scrivi la tua recensione »

Recensioni di chi ha scaricato il contenuto

Anteprima Testo:
ESERCIZI SU MINIMI QUADRATI E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 1. a) Costruite una retta che interpoli i dati in tabella. b) Trovare un’equazione per tale retta.
SOLUZIONE a) Si riportano i punti (2,1),(3,3),(5.7),(7.11),(9,15) e (10,17) su un sistema di coordinate cartesiane. Tutti i punti giacciono su una retta , che interpola i dati esattamente. b) Per determinare l’equazione della retta data da Y = a0 + a1 X Sono quindi necessari solo 2 punti. Scegliamo i punti (2,1) e (3,3). Per il punto (2,1), X=2 e Y=1. Avremo quindi 1 = a0 + 2a1. Analogamente per il punto (3,3), X=3 e Y=3. Sostituendo , 3 = a0 + 3a1. Risolvendo simultaneamente, a0=-3 a1 = 2, quindi
Y = -3 + 2X Y = 2X – 3.
2. Dal problema precedente, trovare a) Y quando X=4 b) Y quando X=15 c) Y quando X=0 d) X quando Y=7.5 e) X quando Y=0.
SOLUZIONE
Assumiamo che la stessa relazione Y= 2X –3 valga anche per valori di X e Y diversi da quelli specificati. a) Se X=4, Y=8 – 3 = 5 . Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente a un valore di X compreso fra due valori dati di X, questo procedimento è detto interpolazione lineare. b) Se X=15, Y=2(15) – 3=27 . Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente ad un valore di X estremo ai valori dati di X, tale procedimento è detto estrapolazione lineare. c) Se X=0, Y=2(0) – 3 = 0 –3 = -3. Il valore di Y quando X=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. E’ il valore di Y nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle Y. d) Se Y = 7.5, 2X= 7.5 + 3 = 10.5 , X= 10.5/2 = 5.25. e) Se Y=0, 0 = 2X –3 : quindi 2X = 3 e X = 1.5 . Il valore di X quando Y=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. f) E’ il valore di X nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle X.
3. Dimostrare che l’equazione della retta passante per i punti (X1,Y1) e (X2,Y2) è data da
Y  Y1 
Y2  Y1 (X  X1) . X 2  X1
SOLUZIONE L’equazione della retta è Y = a0 + a1 X Poichè (X1,Y1) giace sulla retta, Y1 = a0 + a1 X1. Poichè (X2,Y2) giace sulla retta, Y2 = a0 + a1 X2.
Sottraiamo le prime due equazioni e otteniamo Y – Y1 = a1 (X – X1) Sottraendo la seconda e la terza equazione e otteniamo Y2 – Y1 = a1 (X2 – X1), quindi
a1 
Y2  Y1 X 2  X1
da cui l’equazione desiderata. Y  Y1 L’espressione a1  2 è spesso indicata anche con la lettera m ed è il coefficiente angolare X 2  X1 della retta.
4. Trovate a) il coefficiente angolare, b) l’equazione, c) l’ordinata all’origine e d) l’intercetta sull’asse delle X della retta passante per i punti (1,5) e (4,1). SOLUZIONE a) Utilizzando l’equazione
Y  Y1 
Y2  Y1 (X  X1) X 2  X1
si ha
m
Y2  Y1  (-1-5)/(4-1)= -2 X 2  X1
Il segno negativo del coefficiente angolare indica che, al crescere di X, Y diminuisce:
b) L’equazione della retta è Y – Y1 = m (X-X1)
o Y-5 = -2(X-1) ossia Y = 7 – 2X. c) L’ordinata all’origine, che è il valore di Y quando X=0, è data da Y = 7-2(0) =7, come d’altra parte si vede dal grafico. d) L’intercetta sull’asse delle X è il valore di X quando Y=0. Sostituendo Y=0 nell’equazione Y=7-2X abbiamo 0 = 7 – 2X cioè 2X = 7 ossia X= 3.5 . Questo valore può anche essere visto dal grafico.
5. a) Costruite una retta che interpoli i dati in tabella. b) Trovate l’equazione di tale retta.
SOLUZIONE a) Riportiamo i vari punti (1,1), (3,2), ecc. su un sistema di coordinate cartesiane come in figura.
La retta interpolante è tracciata empiricamente nella figura. Per tracciarla nel modo corretto ci si dovrebbe servire del metodo dei minimi quadrati. b) Per ottenere l’equazione della retta, scegliamo due punti qualsiasi sulla retta, come ad esempio P e Q, che valgono approssimativamente (0,1) e (12, 7.5). L’equazione della retta è Y = a0 + a1 X, che applicata ai punti vale 1 = a0 + a1 (0) 7.5 = a 0 + 12 a1 . Si ottiene quindi a0 = 1 a1 = 6.5/12 = 0.542. Si ottiene così Y = 1 + 0.542 X . Altro metodo, usando
Y  Y1 
Y2  Y1 (X  X1) X 2  X1
Y - 1 = [(7.5 –1)/(12 – 0)] (X – 0) Y – 1 = 0.542 X Y = 1 + 0.542 X .
6. Interpolate i dati del problema precedente con una retta dei minimi quadrati, usando X come variabile indipendente. SOLUZIONE L’equazione della retta è Y = a0 N + a1  X . Le equazioni normali sono
Y = a0 N + a1 X XY = a0 X + a1  X2 Il calcolo delle somme viene ordinato per colonne:
Dato che ci sono 8 paia di valori di X e Y, N=8, e le equazioni normali diventano 8a0 + 56 a1 = 40 56 a0 + 524 a1 = 364 . Risolvendo simultaneamente, a0 = 6/11 = 0.545 a1= 7/11 = 0.636. La retta dei minimi quadrati richiesta è Y = 0.545 + 0.636 X .
7. (Applicazione alle serie temporali) In tabella è riportata la produzione di acciaio di un certo paese in milioni di tonnellate durante gli anni 1946-1956.
a) Tracciate il grafico dei dati b) Trovate l’equazione della retta dei minimi quadrati interpolante i dati.
c) Stimate la produzione di acciaio per gli anni 1957 e 1958 e confrontate con i veri valori, che sono rispettivamente 112,7 e 85.3 milioni di tonnellate. d) Stimate la produzione di acciaio per gli...
Contenuti correlati
Skuola University Tour 2014