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Informatica - calcolo numerico

Esercizi e soluzioni interpretati secondo il metodo dei minimi quadrati per Informatica. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Costruite una retta che interpoli i dati in tabella; Trovare un’equazione per tale retta.

  • Esame di Informatica docente Prof. -. Non Definito
  • Università: La Sapienza - Uniroma1
  • CdL: Corso di laurea in informatica
  • SSD:
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Informatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Non Definito --.
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Informatica - calcolo numerico
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ESERCIZI SU MINIMI QUADRATI E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 1. a) Costruite una retta che interpoli i dati in tabella. b) Trovare un’equazione per tale retta.
SOLUZIONE a) Si riportano i punti (2,1),(3,3),(5.7),(7.11),(9,15) e (10,17) su un sistema di coordinate cartesiane. Tutti i punti giacciono su una retta , che interpola i dati esattamente. b) Per determinare l’equazione della retta data da Y = a0 + a1 X Sono quindi necessari solo 2 punti. Scegliamo i punti (2,1) e (3,3). Per il punto (2,1), X=2 e Y=1. Avremo quindi 1 = a0 + 2a1. Analogamente per il punto (3,3), X=3 e Y=3. Sostituendo , 3 = a0 + 3a1. Risolvendo simultaneamente, a0=-3 a1 = 2, quindi
Y = -3 + 2X Y = 2X – 3.
2. Dal problema precedente, trovare a) Y quando X=4 b) Y quando X=15 c) Y quando X=0 d) X quando Y=7.5 e) X quando Y=0.
SOLUZIONE
Assumiamo che la stessa relazione Y= 2X –3 valga anche per valori di X e Y diversi da quelli specificati. a) Se X=4, Y=8 – 3 = 5 . Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente a un valore di X compreso fra due valori dati di X, questo procedimento è detto interpolazione lineare. b) Se X=15, Y=2(15) – 3=27 . Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente ad un valore di X estremo ai valori dati di X, tale procedimento è detto estrapolazione lineare. c) Se X=0, Y=2(0) – 3 = 0 –3 = -3. Il valore di Y quando X=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. E’ il valore di Y nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle Y. d) Se Y = 7.5, 2X= 7.5 + 3 = 10.5 , X= 10.5/2 = 5.25. e) Se Y=0, 0 = 2X –3 : quindi 2X = 3 e X = 1.5 . Il valore di X quando Y=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. f) E’ il valore di X nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle X.
3. Dimostrare che l’equazione della retta passante per i punti (X1,Y1) e (X2,Y2) è data da
Y  Y1 
Y2  Y1 (X  X1) . X 2  X1
SOLUZIONE L’equazione della retta è Y = a0 + a1 X Poichè (X1,Y1) giace sulla retta, Y1 = a0 + a1 X1. Poichè (X2,Y2) giace sulla retta, Y2 = a0 + a1 X2.
Sottraiamo le prime due equazioni e otteniamo Y – Y1 = a1 (X – X1) Sottraendo la seconda e la terza equazione e otteniamo Y2 – Y1 = a1 (X2 – X1), quindi
a1 
Y2  Y1 X 2  X1
da cui l’equazione desiderata. Y  Y1 L’espressione a1  2 è spesso indicata anche con la lettera m ed è il coefficiente angolare X 2  X1 della retta.
4. Trovate a) il coefficiente angolare, b) l’equazione, c) l’ordinata all’origine e d) l’intercetta sull’asse delle X della retta passante per i punti (1,5) e (4,1). SOLUZIONE a) Utilizzando l’equazione
Y  Y1 
Y2  Y1 (X  X1) X 2  X1
si ha
m
Y2  Y1  (-1-5)/(4-1)= -2 X 2  X1
Il segno negativo del coefficiente angolare indica che, al crescere di X, Y diminuisce:
b) L’equazione della retta è Y – Y1 = m (X-X1)
o Y-5 = -2(X-1) ossia Y = 7 – 2X. c) L’ordinata all’origine, che è il valore di Y quando X=0, è data da Y = 7-2(0) =7, come d’altra parte si vede dal grafico. d) L’intercetta sull’asse delle X è il valore
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