Riassunto esame Scienza delle costruzioni, prof. Vestroni, libro consigliato Rega, Vestroni: elementi di meccanica dei solidi

3. MECCANICA DEI SOLIDI ELASTICI

3.1 Analisi dello Stato di Deformazione (Cinematica)

MEZZO CONTINUO TRIDIMENSIONALE

• Si definisce MEZZO CONTINUO il semplicemente CONTINUO i cui sistemi tridimensionale deformabili, i cui punti continuano insieme al corrispondenze reciproche nello spazio euclideo (corrispondenza biunivoca tra i punti del continuo e quelli di un intorno C dello spazio occupato dal sistema in un dato istante)

DEFORMAZIONE

• Cambiamento di configurazione del corpo solido tridimensionale iniziale e la sua affrontata C alla sua configurazione
• (Nel passaggio C₁ - C₂ se il corpo non subisce variazioni di forma e volume esso compie una traslazione rigida)

X

X = X + U(X)

• Descrizione dei cambiamenti di configurazione del corpo deformabile

Vettore posizione del sistema dopo trasformazione deformazione

X₁ = X₁, Y₁, Z₁

X₁ + U(X)

• Descrizione dei cambiamenti del posizione vettore U(X) = [u v w]
• Affinché nel processo deformativo non si verifichino alterazioni di compensazione di materia, se la trasformazione del volume elementare di traslazione coincide con la derivata dei punti F.D.E. e F.D.C. La funzione f(X) viene tenuta continua insieme alla derivata prima del campo vettoriale si limita per trasformazione del LIP di spostamenti infinitesimi, senza trascurare di riflessi di una dilatazione significativi del solido in esame.

Tensione della Deformazione

Per qualitazione del cambiamento di configurazione volumetrica del solido di un punto P(X, Y, Z) del solido iniziale, e del punto Q(X + dx, Y + dY, Z + dZ) posto a distanza infinita infinitesima nel punto P appartenente al solido di variazioni infinitesime dx, dy, dz, esse descriventi associazione alla traslazione una configurazione P e Q

U_X = (P + d_u(X)

)_X = (d_P(X))_P(X)∣_p(X))

= (d_pX)

dU(X) = [dU, dU, dW]^T

• Approssimare del vettore spostamento

dυ(x) = [dυ dυ dυ]^T

• dυ_x = ∂υ_x/∂x dx + ∂υ_x/∂y dy + ∂υ_x/∂z dz
• dυ_y = ∂υ_y/∂x dx + ∂υ_y/∂y dy + ∂υ_y/∂z dz
• dυ_z = ∂υ_z/∂x dx + ∂υ_z/∂y dy + ∂υ_z/∂z dz

Formato matriciale di υ_Q = υ_P + dυ(x)

• υ_x = υ_Px + [ ∂υ_x/∂x ∂υ_x/∂y ∂υ_x/∂z ] [ dx ]
• υ_y = υ_Py + [ ∂υ_y/∂x ∂υ_y/∂y ∂υ_y/∂z ] [ dy ]
• υ_z = υ_Pz + [ ∂υ_z/∂x ∂υ_z/∂y ∂υ_z/∂z ] [ dz ]

υ_Q = υ_P + [T] dx

Matrice Gradiente di Spostamento

Per ricavare il significato meccanico di [T] si scorpone in una matrice simmetrica [E] detta matrice della deformazione pura o tensore deformazione e una matrice antisimmetrica [Ω] detta matrice della rotazione rigida.

• Formato: [T] = [E] + [Ω]

ε = 1/2 [ [T] + [T]^T ] =>

• ε₁₁ = 1/2 ( ∂υ_x/∂x + ∂υ_x/∂x )
• ε₁₂ = 1/2 ( ∂υ_x/∂y + ∂υ_y/∂x )
• ε₁₃ = 1/2 ( ∂υ_x/∂z + ∂υ_z/∂x )
• ε₂₁ = 1/2 ( ∂υ_y/∂x + ∂υ_x/∂y )
• ε₂₂ = 1/2 ( ∂υ_y/∂y + ∂υ_y/∂y )
• ε₂₃ = 1/2 ( ∂υ_y/∂z + ∂υ_z/∂y )
• ε₃₁ = 1/2 ( ∂υ_z/∂x + ∂υ_x/∂z )
• ε₃₂ = 1/2 ( ∂υ_z/∂y + ∂υ_y/∂z )
• ε₃₃ = 1/2 ( ∂υ_z/∂z + ∂υ_z/∂z )

componente simmetrica

Ω = 1/2 [ [T] - [T]^T ] =>

• Ω₁₁ = 0
• Ω₁₂ = 1/2 ( ∂υ_x/∂y - ∂υ_y/∂x )
• Ω₁₃ = 1/2 ( ∂υ_x/∂z - ∂υ_z/∂x )
• Ω₂₁ = 1/2 ( ∂υ_y/∂x - ∂υ_x/∂y )
• Ω₂₂ = 0
• Ω₂₃ = 1/2 ( ∂υ_y/∂z - ∂υ_z/∂y )
• Ω₃₁ = 1/2 ( ∂υ_z/∂x - ∂υ_x/∂z )
• Ω₃₂ = 1/2 ( ∂υ_z/∂y - ∂υ_y/∂z )
• Ω₃₃ = 0

componente antisimmetrica

La decomposizione della matrice gradiente [T] = [E] + [Ω] consente di esprimere lo spostamento di un punto Q

nello spazio di un punto P nel solido:

υ_Q = υ_P + E dx + Ω dx

Equazione di congruenza per lo stato di deformazione piano xy

• Note le componenti del tensore della deformazione

Ex = ∂u/∂x

Ey = ∂v/∂y

Exy = 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x)

• Scrivere le equazioni che devono soddisfare le componenti Eij: poiché ora ipotesi è possibile risalire a una unica funzione spostamento di componenti U e V (differenze ale). La condizione di integrabilità diviene:

Exy = 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x)

dz = 1/2 (∂v/∂x − ∂u/∂y)

• Si ottengono le componenti del gradiente della spostamento:

∂u/∂x = Exy+dz

∂v/∂y = Exy−dz

• Differenziale dello spostamento

du = Exdx+(Exy−dz)dy

(#) dv = −(Exy+dz)dx+Eydy

• Devono pure verificare le condizioni di Schwarz

∂/∂y(Exy+dz)=∂Ey/∂x

• Stabiliamo l'equazione differenziale tra dz e Ej

∂^2dz/∂x^2 = ∂^2Ey/∂x^2 − ∂^2Ex/∂y^2 − 2∂Exy/∂x∂y

∂^2dz/∂y^2 = ∂^2Ey/∂y^2 − ∂^2Ex/∂x^2 − 2∂Exy/∂y∂x

La conoscenza di dz, necessaria per vendere esatti i differenziali di du e subordina all'integrabilità della forma differenziale chiusa:

∂^2dz/∂x^2 dx + ∂^2dz/∂y^2 dy

Condizione necessaria perché tale forma differenziale sia esatta:

→ ∂^2dz/∂x^2 = ∂^2dz/∂y^2

Il tipo di soluzione che debilita queste deriva esige uguali

Tale condizione fornisce

EQ. CONGRUENZA ESPLICITA NEL PIANO

∂^2Ey/∂x^2 + ∂^2Ex/∂y^2 − (∂^2Exy/∂x∂y) = 2 ∂^2dz/∂(2xy)

Equazione di congruenza

→ ESPILICITA NEL PIANO

• Note le componenti Eij è possibile determinare dz
• Con (#) è possibile determinazione dei componenti di spostamenti u e v al meno di un spostamento rigido

Il vettore `<sub>t n</sub>(p)` definisce la tensione di Cauchy in P seguite secondo la superficie di normale n. Tale vettore risultante dagli sforzi di natura normale e le sue risultanti in due direzioni fisiche sul piano generico (F/Z).

Lemma di Cauchy

Si consideri il solido estratto dal suo continuum di Cauchy individuato e di superfici parallele qualizzate e. Siano e delle superfici interne infinitesime di volume rispetto al lato (_e2).

Per scrivere poi eq. di equilibrio del parallelo opipedo bisogna considerarmi le risultanti: togliendo gli sforzi distribuiti in parte moltiplicate per le aree su cui agiscono

• sup. 1(n_e) = risult. t_n e_n → area e²
• sup. Laterali → risultante _fe → area e²
• Forza di volume (b) → volume e⁴

Eq. vettoriale di equilibrio sulla trasversale

Σ _tn^Sz - _tn^Sz + _fe + bδe⁴ = 0

| t_n - t_n | Lemma di Cauchy

Decomposizione vettore tensione di Cauchy

Il vettore risultante t_n in un sistema di riferimento cartesiano con componenti cartesiane

La decomposizione del vettore risultate t_n in due proiezioni in direzione normale n

n = [α β c]^T

α = Cos(n, x) β = Cos(n, y) c = Cos(n, z) → coseni direttori α² + β² C² = 1

determinata → t_n = (t_n) + (t_n)

Companente tangenziale Component normale