Riassunto esame filosofia della scienza, prof. Graziano Mario, libro consigliato "Pitagorici si Nasce", Autore "Mario Graziano"

Pitagorici si nasce, l'origine naturale del sapere matematico

Introduzione

Dopo Galileo Galilei, la scienza moderna ha definitivamente consacrato alla matematica un posto di primo piano. Tuttavia, è altresì certo che gli sviluppi del pensiero matematico siano stati sostenuti in maniera rilevante dai progressi registrati in aritmetica, nell’analisi del concetto di numero. La matematica non ha giammai costituito la rampa di lancio dei numeri; è piuttosto vero l’inverso.

John Locke nel suo Saggio sull’intelletto umano si chiede perché non possiamo usare i numeri “senza le parole, i caratteri o qualche altro segno esteriore” mentre, al contrario, siamo capaci di pensare il bianco o il nero o altri oggetti, “senza l’uso di nessun nome o segno”. Per Locke questo dipende dal fatto che l’idea di unità è talmente semplice e quindi le idee di unità ripetute non sarebbero mai distinte, ma formerebbero un cumulo disordinato e caotico (se io non avessi parole o segni per conoscerle e determinarle).

E dunque: cosa sono i numeri? I numeri sono qualcosa o nulla? Dal 1884, anno de I fondamenti dell’aritmetica di Frege, la questione della dimensione ontologica del numero ha catturato l’interesse di filosofi, matematici e logici. Ma al centro del dibattito è stata posta una questione fondamentale: i numeri (e la matematica) sono una scoperta o un’invenzione della mente umana?

Già alcuni filosofi dell’antica Grecia, Pitagora e Platone in particolare, affermavano che la matematica doveva per forza di cose esistere al di sopra del potere degli uomini di alterarla, dirigerla, influenzarla. Per i platonisti, allora, la matematica può tranquillamente fare a meno di noi, nel senso che dietro gli oggetti matematici non si nascondono meccanismi di comprensione, manipolazione e convenzione. Analogamente, esistono autonomamente i numeri.

Nondimeno, alcuni studiosi del XX secolo si sono schierati apertamente contro questo modo di pensare. Due grandi matematici contemporanei, Philip Davis e Reuben Hersh, scrivono nel loro libro L’esperienza matetica che: il tipico matematico di professione è un platonista (considera la matematica una scoperta) nei giorni feriali e un formalista (considera la matematica un’invenzione) la domenica. Cioè, quando fa la matematica, è convinto di avere a che fare con una realtà oggettiva di cui sta cercando di determinare le proprietà, ma poi, quando viene sfidato a fare un resoconto filosofico di questa realtà, trova più facile fingere che dopotutto non ci crede.

In ogni caso, sia che la matematica fosse un’invenzione, o se fosse totalmente frutto di scoperte, queste sarebbero state comunque compiute da matematici usando il proprio cervello. Secondo le ricerche di Stanislas Dahaene e dei suoi collaboratori, le scoperte relative alla psicologia dell’aritmetica confermano che il numero appartiene a quelle categorie “innate” attraverso cui comprendiamo la realtà che ci circonda. L’affermazione, comunque, più categorica nella disputa “invenzione contro scoperta” si deve al linguista cognitivo Lakoff: “La matematica è una parte naturale dell’essere umano. Ha avuto origine dai nostri corpi, dai nostri cervelli e dalle nostre esperienze quotidiane nel mondo. La matematica è un sistema di concetti umani che fa un uso straordinario degli strumenti ordinari della cognizione umana”.

In questo libro analizzeremo:

• Le teorie cognitive sulla matematica partendo dalla prima, quella di Piaget, secondo il quale esiste un rapporto inscindibile tra strutture di intelligenza generale ed evoluzione della competenza numerica. Sotto l’influenza di Piaget, si è per molto tempo pensato che il bambino nascesse vergine di tutte le conoscenze sul mondo. Oggi, la maggior parte dei ricercatori concorda sul fatto che certe capacità matematiche sono innate: ad esempio, tutti gli esseri umani sembrano essere in grado di determinare con un’occhiata se sono di fronte a uno, due, tre oggetti (una capacità chiamata “subitizzazione”).
• Alcuni test effettuati dagli scienziati cognitivi tramite tecniche di imaging funzionale dell’attività cerebrale, hanno identificato alcune aree del cervello cruciali per destreggiarsi con i numeri e operazioni matematiche, ma, al contrario, non essenziali per il linguaggio. A queste conclusioni si è arrivati prendendo in esame la competenza matematica di alcune popolazioni (ad esempio i Mundurucuru, un gruppo di cacciatori dell’Amazzonia) che pur non possedendo un lessico numerico ricco, riescono ad effettuare dei compiti non simbolici, di confrontare delle grandi quantità con le stesse prestazioni dei soggetti occidentali.
• La nostra cultura, diversamente da quanto accade in Amazzonia, ci ha abituati ai simboli numerici. Tuttavia, la psicologia cognitiva mostra l’importanza negli animali e nei bambini, della percezione non-simbolica del numero, in cui la quantità 13 può essere presentata sotto la forma concreta di un gruppo di 13 punti o di una sequenza di 13 suoni. Per i matematici si può considerare numero tutti quegli oggetti mentali suscettibili d’essere manipolati secondo alcune operazioni coerenti.

Si vedrà come il motto dell’intero volume potrebbe essere: “Pitagorici si nasce, matematici (di professione) si diventa”.

1. Numeri senza linguaggio

1.1 Le capacità numeriche degli animali

Una delle preoccupazioni centrali della psicologia comparata è la ricerca delle basi biologiche della conoscenza umana con il duplice obiettivo di identificare, da un lato, le capacità cognitive che sono alla base degli adattamenti evolutivi e, dall’altro, di poter delineare le tappe attraverso le quali la conoscenza si è evoluta tra le specie animali (in particolare i primati) e l’uomo. In questa prospettiva vi è la necessità di studiare le conoscenze legate alla valutazione delle “quantità” da parte degli animali. Infatti, la capacità di valutare rapidamente delle quantità numeriche è utile per diverse ragioni: la ricerca del cibo (ad es. stimare l’interesse energetico che può offrire una quantità di frutta presente in un albero), valutare il numero di rami disponibili per costruire un nido, valutare durante un combattimento il numero di avversari e di alleati.

L’uomo possiede un sistema capace di manipolare delle quantità e, visto che dopotutto esso appartiene al regno animale, è possibile credere che i vicini dell’uomo nella catena evolutiva siano dotati dello stesso sistema. Tuttavia, le cose non sono così semplici. Questo limite si manifesta soprattutto a causa della supremazia di alcune discipline come linguaggio, logica, filosofia, nei confronti di altre ad esempio l’etologia. Inoltre, se si continua a considerare la scienza cognitiva al plurale ovvero come “scienze cognitive” o come una “collezione di discipline” si può facilmente andare incontro ad altri due problemi: continuare a considerare la cognizione umana proprietà esclusiva degli esseri umani; non riuscire a colmare la divisione tra le neuroscienze e la neurobiologia da una parte e la psicologia dall’altra.

L’ordine naturale (Scala naturae) si basa su una presunta complessità della struttura degli esseri viventi, in particolare quella del sistema nervoso. Il posto dell’uomo al vertice della scala gli viene conferito grazie al suo grado di complessità cerebrale. Ma l’uomo, benché sia in cima, non rimane che un “prodotto dell’evoluzione”. Pertanto, così come per gli altri processi di acquisizione di conoscenza, anche la rappresentazione del numero risulta essere biologicamente fondata a causa di pressioni selettive che hanno permesso a certi individui la risoluzione vantaggiosa di determinati problemi.

1.2 Il cavallo che sapeva contare

Sono numerosi i racconti che contano di animali straordinari capaci di compiere vere e proprie prodezze matematiche. La storia più famosa ha per protagonista Hans: un cavallo maschio arabo, di linea russa, che il suo proprietario, il barone Wilhem von Osten, aveva acquistato per pochi soldi a causa di un lieve difetto fisico. All’inizio del XX secolo, von Osten sosteneva che dopo dieci anni di preparazione, era riuscito a far imparare l’aritmetica al suo cavallo. Von Osten scriveva 2 su una lavagna e Hans batteva due colpi con lo zoccolo, sulla lavagna compariva il 3 e Hans batteva 3 colpi e così via. In poco tempo il cavallo era riuscito ad arrivare a 10 colpi.

Gli scettici accademici tedeschi, tuttavia, ordinarono una commissione, la Hans Commission (formata da due zoologi ed un famoso addestratore di cavalli). Essa doveva stabilire se vi erano trucchi nel comportamento dell’animale. Dopo numerosi test, la commissione concluse che non vi erano trucchi. Tuttavia, Oskar Pfungst sottopose il cavallo ad altri test, non convinto della conclusione. In particolare considerò due situazioni: nella prima chiese a chi poneva le domande ad Hans di allontanarsi dal cavallo, notando in questo modo una minor correttezza nelle risposte; la seconda situazione prevedeva che chi poneva le domande al cavallo non doveva conoscere le risposte, in questo caso le risposte di Hans si ridussero sensibilmente quasi a zero. I test evidenziarono che Hans non aveva nozioni di matematica, bensì un intuito ed una sensibilità a “recepire” ad ogni domanda, il respiro, la postura e l’espressione facciale delle persone che ponevano le domande. La sottile tensione del volto scompariva, dando modo ad Hans di accorgersi di ciò, in maniera tale da fermare il battere del suo zoccolo, appunto sulla risposta giusta.

Le prime prove convincenti che alcuni animali possedessero realmente capacità numeriche risalgono agli anni cinquanta e furono condotte dallo psicologo Francis Mechner. Dei topi venivano privati di cibo per un breve periodo ed introdotti in una gabbia contenente due leve, A e B. Per ottenere il cibo, il topo doveva premere un certo numero di volte la leva A, quindi premere B. Se il topo premeva la leva B prima del tempo, riceveva anche una scossa elettrica. Mechener intendeva dimostrare che variando n (il numero) i topi riuscivano ad adattare il loro comportamento. In altre parole, se l’esperimento richiedeva quattro pressioni sulla leva A prima di premere B, i topi imparavano a premere la leva “circa 4 volte”. Gli animali tendevano a sovrastimare le pressioni premendo quattro, cinque, sei volte la leva.

Ma come possiamo essere sicuri che i topi rispondano sulla base del numero di pressioni e non sulla base di qualche altro parametro? Per rispondere a ciò, Mechener ed il suo collega Guevrekian tentarono di dare una risposta. Videro che più i topi erano assettati più le loro pressioni sulla leva avevano un ritmo sostenuto. Tuttavia, i topi che avevano imparato a premere A quattro volte continuarono a farlo. Ciò convinse lo studioso che il tempo non aveva nessuna influenza: i topi stimavano il numero. A partire da questi primi studi, alcuni autori hanno condotto nuovi esperimenti nei quali venivano testate diverse specie nella modalità visiva, uditiva, tattile e cinestetica per dimostrare se le prestazioni numeriche degli animali esaminati fossero dovute ad una proprietà astratta delle numerosità o a qualche proprietà percettiva dipendente dalle modalità di prestazione.

In un altro esperimento (condotto da Fernandes e Church) i topi venivano sottoposti a discriminare sequenze contenenti 2 o 4 suoni. Successivamente, i topi venivano condotti in una stanza e dovevano scegliere tra due leve una corrispondente al “2” e l’altra al “4”. Due anni dopo, l’esperimento venne modificato: un gruppo di topi veniva addestrato a premere una leva quando venivano presentati due suoni e l’altra leva quando ne venivano presentati otto. Si notò che i topi erano capaci di generalizzare le associazioni sia al cambiare delle numerosità, sia al variare della durata.

Possiamo quindi supporre che pur essendo capace l’animale a imparare una regola, diverso potrebbe essere il suo comportamento spontaneo in quanto la numerosità non è una proprietà che questi utilizzano come elemento naturale. Questa tesi, tuttavia, sarebbe contraria agli argomenti evolutivi secondo cui la rappresentazione della numerosità è un tratto selettivo presente negli animali in una forma più o meno rudimentale (ad es. quantificazione del cibo o degli alleati e dei nemici durante una contesa).

1.3 Uccelli, delfini e altri ancora

Numerosi studi hanno cercato di mettere in evidenza come alcuni uccelli potrebbero utilizzare il concetto di numero nella loro esistenza quotidiana. È il caso, ad esempio, delle folaghe che secondo una ricerca utilizzerebbero il concetto di numero per decidere o meno di deporre un ulteriore uovo, effettuando una sorta di confronto tra le uova deposte e il numero di uova di altri uccelli parassiti.

Uno dei primi ricercatori ad accorgersi delle capacità numeriche degli uccelli fu lo zoologo tedesco Otto Koehler. In un esperimento addestrò un corvo a riconoscere il numero di punti presenti su un cartoncino, uguale a quello posto su una scatola contenente del cibo. La ricercatrice Irene Pepperberg addestrò invece un pappagallo a ripetere il numero degli oggetti che gli venivano mostrati, compito che prevedeva non solo la capacità di distinguere e di discriminare le numerosità ma anche di associare la risposta vocale a ciascun numero. Inoltre, molte specie di uccelli mostrano di possedere capacità numeriche semplicemente attraverso il conteggio di quante volte ripetono una certa nota nel loro canto. Infatti, i canti degli uccelli contengono sequenze stereotipate.

Numerosi studi si sono interessati alle capacità discriminatorie dei delfini. Nell’esperimento di Kilian e colleghi un delfino (Tursiops truncates) veniva sottoposto a discriminare tra un insieme di cinque oggetti e un insieme di due. I delfini, erano in grado di individuare l’insieme più numeroso anche di fronte a configurazioni nuove su cui non erano stati addestrati, dimostrando in tal modo come alla base delle loro scelte vi fosse l’esclusivo affidamento a competenze numeriche. Qualche anno dopo, lo stesso gruppo di ricerca si propose di indagare se ci fosse una particolare specializzazione emisferica nell’elaborazione dell’informazione numerica.

Si chiedeva ai delfini di effettuare una discriminazione tra 2 elementi vs 5. I risultati mostrarono che l’animale era in grado di effettuare la discriminazione 2 vs 5 sia con l’occhio destro che col sinistro ma, viceversa, avevano mostrato una asimmetria nel secondo compito 3 vs 4 con una prestazione migliore quando gli stimoli venivano analizzati con l’occhio destro. Da ciò si concluse che vi è una specializzazione dell’emisfero sinistro. Si è mostrato infine, come i delfini siano capaci di eseguire dei giudizi di ordinalità (si addestrarono dei delfini, tramite un rinforzo alimentare, a scegliere di volta in volta la minore quantità tra due stimoli).

Ulteriori studi, da parte di Claudia Uller e colleghi, sono stati condotti sulle salamandre dal dorso rosso, cosa che risulta sorprendente visto la lontananza di questa specie nella catena evolutiva. In questo esperimento, le salamandre venivano inserite all’interno di un corridoio alle cui estremità si trovavano due contenitori contenenti una diversa quantità di stimoli di natura alimentare, in questo caso moscerini della frutta. Gli autori hanno osservato che le salamandre si avvicinavano verso la numerosità maggiore quando vi erano posti ad es. tre moscerini invece che due. Ma è probabile che uno o più moscerini si muovano, quindi la probabilità che il movimento di un moscerino su tre attiri la salamandra è maggiore rispetto al gruppo composto da solo due moscerini.

Inoltre, secondo alcuni autori non è corretto parlare di cognizione numerica se la rappresentazione numerica in questione non può essere addizionata, sottratta o quanto meno ordinata. Allo stato attuale la maggior parte dei ricercatori hanno concentrato i loro studi su questo aspetto concentrandosi sulle capacità numeriche dei primati non umani.

1.4 Scimmie matematiche

In un famoso esperimento Brannon e Terrace valutarono le abilità di due scimmie di ordinare coppie di numeri, presentati su un monitor, compresi tra 1 a 9. Inizialmente le scimmie imparavano a toccare sul monitor gli insiemi presentati: dal più piccolo al più grande, da 1 a 4 unità. Successivamente, nella seconda fase dell’esperimento, alle scimmie venivano presentati nuovi insiemi. I risultati hanno messo in evidenza che le scimmie, riuscendo a generalizzare queste operazioni a partire dalle prime prove, sono ugualmente capaci di ordinare le nuove immagini, da quelle che ne contengono di meno a quella che ne contiene di più, sanno quindi rappresentarsi la numerosità degli stimoli.

Tuttavia, gli stessi Brannon e Terrace hanno notato che, se viene dato alle scimmie il compito di ordinare le immagini in ordine discendente, l’animale non è più capace di generalizzare la sua conoscenza. Inoltre, nonostante un lungo e intenso addestramento, la scimmia non imparava mai a rispondere all’ordine arbitrario (ad esempio 4-1-3-2). Gli autori hanno avanzato due possibili spiegazioni di questo fenomeno: o l’ordine crescente è presente negli animali in maniera troppo forte per poter essere inibito; oppure la difficoltà deriva dalla necessità di identificare ciascun numero prima di poter rispondere. Infatti, per ordinare le immagini nell’ordine crescente, non è necessario sapere che l’uno contiene 1 elemento, l’altro 2 e così via. Al contrario, per ordinare le immagini nell’ordine 4-1-3-2, bisogna che l’animale sappia identificare la cardinalità.