Fisica 1 - Riassunto esame, prof. Lanzani

Cinematica del punto.

v_m = Δx/Δt   v_i = dx/dt   [m/s]

Spazio percorso:

x(t) = x₀ + ∫_t0 v(t) dt

Moto rettilineo uniforme:

x(t) = x_c + vt

Accelerazione:

a = dv/dt = d²x/dt²   [m/s²]

v(t) = v₀ + ∫_t0 a(t) dt

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

v(t) = v₀ + at

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v² = v₀² + 2a(x - x₀)

Moto armonico semplice:

x(t) = A cos (ωt + φ)

T = 2π/ω   ω = 2π/T   f = 1/T = ω/2π

v(t) = -ωA sin (ωt + φ)

a(t) = -ω²A cos (ωt + φ) = -ω²x

Moto circolare:

Velocità angolare:   ω = dθ/dt = v/r

1. @ Moto circolare uniforme v è una costante
2. S(t) = S₀ + vt
3. θ(t) = θ₀ + ωt
4. a = a_n = v²/r = ω²R

T = 2πR/v = 2π/ω

L = Δv

Cinematica del punto.

v_m = Δx / Δt, v_i = dx / dt [m/s]

Spazio percorso:

x(t) = x_o + ∫_to v(t) dt

Moto rettilineo uniforme:

v costante

x(t) = x_o + vt

Accelerazione:

a = dv / dt = d²x / dt² [m/s²]

v(t) = v_o + ∫_to a(t) dt

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

v(t) = v_o + at

x(t) = x_o + v_ot + 1/2 at²

v² = v_o² + 2a(x - x_o)

Moto armonico semplice:

x(t) = A cos (ωt + Φ)

T = 2π / ω, ω = 2π / T, f = 1 / T = ω / 2π

v(t) = -ωA sin(ωt + Φ)

a(t) = -ω²A cos(ωt + Φ) = -ω²x

Moto circolare:

Velocità angolare: ω = dθ / dt = v / r

Moto circolare uniforme:

v = costante

S(t) = S_o + vt

θ(t) = θ_o + ωt

T = 2πr / v = 2π / ω

a = a_n = v² / r = ω²R

(2) Non Uniforme

a_t = \(\frac{dv}{dt}\)

\(\alpha = \frac{a_t}{R}\)

\(\alpha = \frac{1}{2} \omega^2 - \frac{1}{2} \omega_0^2\)

(3) Moto Uniformemente Accelerato

\(\omega = \omega_0 + \alpha t\)

\(\Theta = \Theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\)

a_n = \omega^2R = (\omega_x + \alpha t)^2 R

a = \(\sqrt{a_t^2 + a_n^2}\)

Moto Parabolico

Asse x - Moto Uniforme

Asse y - Uniformemente Accelerato

v_x = v_0 \(\cos \Theta\)

v_y = v_0 \(\sin \Theta - gt\)

x = x_0 + v_{0x} t = x_0 + v_0 \cos \Theta t

y = y_0 + v_{0y} t - \(\frac{1}{2} gt^2 = y_0 + v_0 \sin \Theta t - \frac{1}{2} gt^2\)

\(X_G = \frac{2v_0^2 \cos \Theta \sin \Theta}{g} = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\Theta)\)

Traiettoria Parabolica:

y = h - \(\frac{g}{2v_0^2} x^2\)

Punto di Attacco:

x = v_0 \(\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Altezza Massima:

\(y_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \Theta}{2g}\)

Dinamica del punto.

1. Principio d’inerzia

   Un corpo non soggetto a forze resta in uno stato di quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.

   No forze → la velocità non varia.

2. Legge di Newton:

   F = ma

   L’interazione del punto con l’ambiente (F) determina l’accelerazione del punto.

3. Le forze vanno in coppia, principio di azione e reazione → uguali e contrarie

   F_{A, B} = −F_{B, A}

Quantità di moto

P = m v

F = ^dp/_dt (anche se la massa non è costante)

Impulso

Th. dell’impulso:

L’impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della sua quantità di moto.

I = Δp

I = m Δv

I = ^FmΔT = Δp

F = ^Δp/_T, se F = 0, Δp = 0.

p = costante

"In assenza di forze applicate la quantità di moto si conserva, rimane costante."

Reazione vincolare (N)

La normale è contrario alla forza

R + N = 0

Se N = 0, si annulla per diventare una forza attrattiva, la distacco del corpo dalla superficie.

Moto rettilineo uniforme

• V = cost, a = 0
• F = 0

Uniformemente accelerato

• a = cost
• F = cost

Moto vario

• F = variabile
• F = ma₁ + maₙ

Forza peso

P = mg

Massa → significato dinamico, indipendente dalla forza agente

Forza peso → interazione del corpo con la terra

Oss. sensazione di peso

• N + P = ma
• N + mg = ma
• N = m (a - g)

1. a discordo da gN > mg, aumento di peso
2. a concorde a g, funivia in rottaN < g, diminuzione di peso
3. a = g ⇒ N = 0No sensazione di peso
4. a concorde a g, maggiore in rotta→ distacco dalla piattaforma

Forze di Attrito Radente

• Movimento → F > μ_sN
• Condizione d'appoggio: N > 0, P > Fsenθ
• Condizione di quiete:
  • F ≤ μ_sm₀g / cosθ + μ_ssenθ

Quando F > μ_sN → movimento

• Forza d'attrito radente dinamica
  • F_ad = μ_d N
  • μ_d < μ_s

Piano inclinato

• P ₀ cosθ - μ_d N = ma

Condizione d'equilibrio statico: P cosθ ≤ μ_s

Forza Elastica

F = -kΔx

K = costante elastica

a = F/m = -K/m Δx = -ω²Δx

• ω = pulsazione

ω = √K/m

T = 2π/ω = 2π√m/k

• Moto armonico, con molla bloccata:
  • x = A cos (ωt + φ)
  • x = x₀ cos ωt
  • V = -ωx₀ sen ωt

Pendolo Semplice

Equilibrio statico: posizione verticale T = mg

RT = -mg senθ = mat

RN = T - mg cosθ = maN

aT = L ^d2θ/_dt²

aN = v²/L

Per piccole oscillazioni:

d²θ/dt² + g/L θ = 0

Θ = Θ₀ sen(ωt + φ)

T = 2π/ω = 2π √(L/g)

S = CΘ = LΘ₀ sen(ωt + φ)

Angolare = dΘ/dt = ωΘ₀ cos(ωt + φ)

Lineare = ds/dt = L dΘ/dt = L ωΘ₀ cos(ωt + φ)

Oss: La velocità è massima nel verticale (θ = 0) e nulla negli estremi (θ = Θ₀)

Oss: La tensione è massima nel verticale

Forza di rotazione (cosθ = max; V_T = max) e minima nei punti d'inversione.

Tensione dei Fili

Il tuo peso esercitato dagli estremi è tensione, che dipende dalle forze applicate e non dalla forza che lo flette.

Bacchetta/Filo:

1. Il filo funziona in trazione, il bacchetto sia in trazione che in compressione
2. La bacchetta può sopportare anche sollecitazioni ortogonali

Lavoro, Potenza, Energia Cinètica

Lavoro

Lavoro della forza F:W = ∫_s0^s1F • ds

Il lavoro è l'integrale lineare della forza

Lo è dato da infiniti, contributi infinitesimi:

dw = F • ds = Ft • ds

3 casi:

1. θ tra F e ds è minore di π/2, l'oggetto è concorde alla v e la va a aumentare

   Ld dw > 0, lavoro motore.

2. θ tra F e ds maggiore di π/2, viene frenato

   Ld dw < 0, lavoro resistente.

3. F • ds, θ = π/2

   Ld dw = 0

F ho azione solo centripeta e non fa variare la velocità.

• Vf > Vi, se θ < π/2
• Vf < Vi, se θ > π/2
• Vf = Vi, se θ = π/2

V = F • s = Fs cosθ

"Il lavoro è pari all'area dei valori delle singole forze agenti ; ciascuna di esse può essere positiva, negativa o nulla."

Potenza

Ld = lavoro per unità di tempo

P = dW/dt = Ft • v

Pm = Wt/Δt

Energia Cinetica

W = ΔGk

Gk = ½mv² - Energia Cinetica

Se W>0, Gkf > Gki

Se W