Preparazione al corso di analisi matematica uno (analisi 1)

L'INTEGRALE INDEFINITO

La primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell'intervallo [a; b] se f(x) è derivabile in tutto [a; b] e la sua derivata è f(x).

L'integrale indefinito

Si dice integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con ∫f(x)dx l'insieme di tutte le primitive F(x) + c con c numero reale qualunque.

Proprietà

1ª ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

2ª ∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx

L'INTEGRALE INDEFINITO

La primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell'intervallo [a;b] se f(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x).

Integrale indefinito

Si dice integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con ∫f(x)dx l'insieme di tutte le primitive F(x) + c con c numero reale qualunque.

Proprietà

1. ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
2. ∫k⋅f(x) dx = k⋅∫f(x)dx

GLI INTEGRALI DEFINITI

DEFINIZIONE:

Data una funzione y=f(x) continua in [a;b] l'integrale definito è il valore a cui convergono le somme integrali inferiori R_n e superiori S_n:

lim_n→∞ R_n = lim_n→∞ S_n = ∫_a^b f(x) dx

TEOREMA DELLA MEDIA

DEFINIZIONE:

Sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] allora esiste almeno un punto c ∈ [a;b] tale che:

∫_a^b f(x) dx = (b-a)·f(c)

DIMOSTRAZIONE

La funzione y=f(x) continua in [a;b] per il teorema di Weierstrass ammette un massimo e un minimo assoluto

m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a;b]

∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx

m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a) ⇒ m ≤ 1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx ≤ M

(dei valori intermedi)

Per il Teorema di Bolzano esiste almeno un c ∈[a;b] tale che

f(c) = 1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx

perché la funzione assume tutti i valori compresi tra [m;M]

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

y = β(x) continua in [a; b]

∀x ∈ [a; b]

Funzione Integrale

F(x) = ∫_a^x β(t) dt

Definizione

Data una funzione y = β(x) continua in [a; b], la sua corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e vale F′(x) = β(x)

Dimostrazione

∀x ∈ [a; b] incrementodih (h ≠ 0) tale che x+h ∈ [a; b]

ΔF = F(x+h) − F(x)

= ∫_a^x+h β(t) dt − ∫_a^x β(t) dt

= ∫_x^x+h β(t) dt

= β(c)⋅h

Possiamo quindi scrivere

F(x+h) − F(x) = β(c)⋅h

β(c) = (F(x+h) − F(x)) / h

lim_c→x β(c) = lim_h→0 (F(x+h) − F(x)) / h

β(x) = F′(x) q.e.d.

FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

^b_a∫f(x)dx = φ(b)-φ(a)

DIMOSTRAZIONE

y = f(x) continua in [a;b]

F(x) = ^x_a∫f(t)dt è primitiva di f(x) per il T fondamentale

φ(x) è una primitiva di f(x)

φ(x) = F(x) + C

x=a => φ(a) = ^a_a∫f(t)dt + c

x=b => φ(b) = ^b_a∫f(t)dt + φ(a)

NE CONSEGUE:

^b_a∫f(t)dt = φ(b) - φ(a)

FUNZIONE PARI

simmetria rispetto all’asse y

-a∫^af(x)dx = 2 ^a₀∫f(x)dx

FUNZIONE DISPARI

simmetria rispetto all’origine

-a∫^af(x)dx = 0

Area compresa tra due funzioni

y = f(x)   y = g(x)   con [a;b]

f(x) ≥ g(x)   ∀ x ∈ [a;b]

S = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Area di forme geometriche note

Area del cerchio

x² + y² = 1

y = ±√(1 - x²)

A = 4 ∫₀¹ √(1 - x²) dx

= 4 [¹/₂ t + ¹/₄ sen 2t]₀^π/2 = π

Volume dei solidi di rotazione

S = ∫_a^b f(x) dx

V = π ∫_a^b [g(x)]² dx

I_n ≤ V ≤ V_n

lim_n→∞ I_n = lim_n→∞ V_n = V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

LUNGHEZZA DI UNA CURVA È AREA DELLA SUPERFICIE

ℓ = \(\int_{a}^{b} \sqrt{1+[\beta'(x)]^2} \, dx\)

S = 2\(\pi\) \(\int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+[\beta'(x)]^2} \, dx\)

GLI INTEGRALI IMPROPRI

y = \(\beta(x)\)

Consideriamo un intervallo \([t, b]\) contenuto in \([a, b]\). Nell'intervallo \([t, b]\) la funzione è continua, quindi integrabile, quindi:

\(\int_{a}^{b} \beta(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} \beta(x)dx\)

La funzione è integrabile in senso improprio solo se come risultato del limite viene un numero finito. Se viene \(\infty\) si dice che la funzione non è integr