Matematica per le applicazioni I - Trigonometria

Curiosità sulle funzioni arcotangente e logaritmo

(a cura del Prof. Dante Borelli, docente di matematica all'Istituto "G.Galilei" di Mirandola, Modena)

In questo breve articolo si vuole evidenziare un legame tra le funzioni f(x)=arctn(x) ed f(x)=ln(1+x) poco noto

e poco utilizzato, ma, che dal mio punto di vista, merita un certo interesse ed un po' di attenzione.

Partiamo dagli sviluppi in serie di queste funzioni considerando x reale:

con |x|<1

con -1<x<=1

Da questo ultimo sviluppo possiamo calcolare anche

(1)

e (2)

La differenza tra la (1) e la (2) produce il seguente risultato: con |x|

<1 (3)

Abbiamo così ottenuto una relazione tra le due funzioni utilizzando i numeri complessi. Tale relazione è da

considerarsi valida sotto la condizione restrittiva |x|<1.

Notiamo anche l'analogia che questa relazione ha con le formule di Eulero. Infatti mentre le formule di Eulero

esprimono un legame tra la funzione esponenziale e le funzioni sinusoidali, la (3) lega la funzione logaritmo

con la funzione arcotangente, cioè le inverse delle precedenti.

Interessanti anche le uguaglianze tra le derivate e gli integrali della (3). Queste saranno approfondite in

seguito.

La (3) può essere riscritta in molti modi come ad esempio

. (4)

Ma forse è ancora più interessante il seguente risultato ottenibile con il cambio di variabile

cioè

dalla (4) si ottiene sostituiamo ora la variabile ausiliaria t con x ed otteniamo così

.

Sempre dalla (3), ponendo ed

si ha il notevole risultato

con xy<1 (5).

Poiché la funzione arcotangente ha il codominio limitato, il termine di sinistra si estende da - a + mentre

,

l'espressione di destra da -/2 a con semplici considerazioni sul segno delle espressioni, si può

2,

estendere la relazione (5). Se x,y>1 allora al secondo termine della (5) è necessario aggiungere il valore ,

mentre se x,y<-1 allora al secondo termine della (5) è necessario sottrarre Naturalmente la relazione

.

perde di interesse se x=y=1 e x=y=-1.

La (5) mostra quindi come sia possibile sommare (o sottrarre) tra di loro le funzioni arcotangente.

La formula precedente può essere utilizzata in varie occasioni, come ad esempio per il calcolo di sfasamenti,

per esplicitare argomenti nelle risoluzioni di equazioni differenziali, ecc.

Dalla (5) si ha anche il simpatico risultato

con |x|<1 (6)

Anche a questa espressione si può estendere facilmente il campo di validità, come per la (5), tralasciando il

caso banale per x=1 e per x=-1.

Facciamo ora un altro approccio alla questione considerando

(7)

ma

per cui

(8)

e, di conseguenza, dalla (7) e dalla (8) si ottiene

(9)

valida per ogni x reale. Tale relazione è identica alla (3), tranne per la presenza della costante di

integrazione c, Tale costante si può interpretare nel fatto che arctn(x) è una funzione plurivoca, così come il

logaritmo in campo complesso. Questo risultato quindi amplia la relazione (3), con l'utilizzo di costanti

opportune, come abbiamo visto ad esempio nella (5).

Considero ora la quantità se x=-1,

 /2

si ha evidentemente |z|=1; arg(z)= /2 se x=1, arg(z)= -

 

se |x|<1 ed infine se |x|>1.

Da queste relazioni si ottiene con k intero (10).

Considerando |x|<1 e k=0, abbiamo ritrovato la relazione (6) per una altra via. Anche per tale relazione può

essere facilmente esteso il campo di validità con l'uso di costanti opportune, ad esempio se x>1

, 

aggiungeremo mentre se x<-1 toglieremo al secondo termine della (6).

 

Formula di sottrazione degli archi

M 

 N

 A

O

Consideriamo una circonferenza di raggio unitario avente centro nell'origine di un

O, i , j

riferimento cartesiano ortogonale ( ). 



 





, 

Consideriamo gli archi OM = ON = ed i vettori .

OM , ON

Si ha





  

   

OM cos i sen j





  

   

ON cos i sen j

Consideriamo il prodotto scalare





 







OM ON

Si ha





 



  

        

cos i sen j       

(cos i sen j cos cos sen sen

=( ) )=



OM ON

Inoltre





 



  



cos( )

=



OM ON

Per cui avremo

     

   

cos( ) cos cos sen sen

=

Teorema del coseno (o di Carnot)

 A



c b

 

B b C 

Consideriamo il triangolo ABC ed indichiamo con le misure degli angoli di vertici

rispettivamente A,B,C e con a,b,c le misure dei lati rispettivamente opposti ai suddetti

angoli.

Considerando i vettori





 



 





AB , CB , CA

avremo





 



 





 

CB CA AB

Elevando al quadrato si ha





 



 





2 2

 

( CB ) ( CA AB )





 



 



 



 





2 2 2

   

( CB ) ( CA ) ( AB ) 2 CA AB

Essendo





 



 





  

CB a CA b AB c

otteniamo

2 2 2  

   

a b c 2

bc cos( )

essendo

  

  

cos( ) cos

otteniamo

2 2 2 

  

a b c 2 bc cos

Analogamente si ottengono le altre due relazioni

2 2 2 

  

b a c 2 ac cos

2 2 2 

  

c a b 2 ab cos

Teorema dei seni

Consideriamo il triangolo ABC

A



c b

 

B b C

Avremo





 



 



 (1)

 

CB CA AB 





moltiplicando vettorialmente per ambo i membri, avremo

AB





 



 



 



 



 





    

CB AB CA AB AB AB

essendo





 





 

AB AB 0

otteniamo





 



 



 





  

CB AB CA AB

per cui si ha





 



 



 





  

CB AB CA AB

e quindi  



ac sen bc sen

 

che si può anche scrivere

a b

 (2)

 

sen sen 





Analogamente moltiplicando vettorialmente la (1) per si ottiene

CA

a c

 (3)

 

sen sen

Dal confronto fra la (2) e la (3) si ottiene

a b c

 

  

sen sen sen

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Circonferenza goniometrica

Una circonferenza è detta trigonometrica (o goniometrica) quando ha raggio

uguale ad 1 ed ha centro in un sistema di assi cartesiani.

y α S

ctg I

II P T x

Q R

O

III IV

G G G

QP

QP

α = = = QP

sin OP 1

G G G

OQ

OQ

= = = OQ

cosα OP 1

G G G

G α [ ]

RT RT QP sin ≠

α = = = = =

G G cosα 0

tg RT α

1 cos

OR OQ

G G G

G α

CS CS OQ cos [ ]

α = = = = = ≠

G G

ctg CS sinα 0

α

OC QP sin

1

OP 1 1 [ ]

α = = = ≠

G G

sec cosα 0

α

OQ OQ cos

OP 1 1 [ ]

α = = = ≠

G G

cosec sinα 0

α

QP QP sin

RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA TRIGONOMETRIA

α + α =

2 2

sin 1

cos

α − α =

2 2

sec tg 1

α − α =

2 2

cos ec ctg 1

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Pagina 2 di 15

DIMOSTRAZIONE

y P

α

O Q x

Sappiamo che:

α + α =

2 2

sin cos 1

Dalla seguente relazione ricaviamo:

α = − α α = ± − α

⇒

2 2 2

cos cos

sin 1 sin 1

= ± −

α = − α α α

⇒

2 2 2

cos cos

1 sin 1 sin

Ed inoltre:

α

sin

α =

tg α

cos

cosα

noto il : α

− 2

1 cos

α = ±

tg α

cos

sinα :

noto il α

sin

α =

tg α

± − 2

1 sin

N.B.) È preferibile per la risoluzione degli esercizi utilizzare davanti la radice soltanto il

segno positivo.

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Pagina 3 di 15

RISOLUZIONE DEL SENO E DEL COSENO NOTA LA TANGENTE

y P

α

O Q x

Per quanto già detto:

α

2

sin

α =

2

sin 1

Quindi:

α α

2 2

sin sin

= α + α

2 2

1 sin cos = α + α

2 2

1 sin cos )

(Poiché dalla relazione fondamentale sappiamo che:

α

2

cos

Dividendo tutto per otterremo la seguente relazione:

α α

2 2

tg tg

α α

= =

⇒

2

sin sin

α

+ α

2 ± +

1 tg 2

1 tg

Allo stesso modo per il coseno:

α

2

cos

α =

2

cos 1 α

2

cos

α =

2

cos α + α

2 2

sin cos α

2

cos otterremo:

Dividendo tutto per

1 1

α α

= =

⇒

2

cos cos

α + α

2 ± +

tg 1 2

1 tg SIMMETRIE

RISPETTO AD UNA RETTA

La simmetria rispetto a una retta, detta asse di simmetria, è la corrispondenza che a ogni punto

=

′ ′

P PC P C

P associa il punto tale che , in un sistema di assi cartesiani si possono

, rispetto ad una retta

verificare vari tipi di simmetria (rispetto ad una retta parallela all’asse y

, rispetto alle bisettrici del 1° e 3° quadrante e del 2° e 4°).

parallela all’asse x

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Pagina 4 di 15 )

1° CASO (SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA PARALLELA ALL’ASSE y

′ C P

P

( )

P x , y

( )

′

P x ', y '

( )

C x , y indicando per comodità l’ascissa di C con H

C

Essendo una simmetria rispetto ad una retta // all’asse y le due ordinate risulteranno uguali e

dunque

=

y y ' x (ascissa di C) punto medio tra P e

essendo P '

C

+

x x '

= e dunque:

x

C 2

= −

' 2

x x x

C ′ ′ −

P saranno: P (2 x x

; y )

da cui otteniamo che le coordinate del punto C

2° CASO (SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA PARALLELA ALL’ASSE x)

′

P

C

P ( )

P x

; y

( )

′

P x '; y '

( )

C x

; k indicando per comodità l’ordinata di C con k.

Essendo una simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse x le due ascisse risulteranno

uguali e dunque:

=

x x ' ′

P

essendo k (ordinata di C) punto medio tra P e

+

y y '

=

k 2

= −

y ' 2 k y ( )

′ ′ −

P che saranno: P x

; 2 k y oppure indicando

da cui otteniamo le coordinate del punto

( )

′ −

y P x

; 2 y y .

l’ordinata di C con 0

0

Casi particolari sono quelli in cui le due rette (assi di simmetria) sono proprio l’asse x o l’asse

y.

Se la retta è l’asse x le coordinate di P saranno:

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Pagina 5 di 15

( )

′ −

P x

; y P ′

P

Se la retta è l’asse y le coordinate di P saranno:

( )

′ −

P x

; y

′ P

P

3° CASO (SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETTRICE DEL 1° E 3° QUADRANTE)

′

P P

O ( )

P x

; y

=

 x y

( )

′ 

P y ; x saranno si ha dunque l’inversione dell’ascissa con

le coordinate di =

 y x l’ordinata e viceversa.

4° CASO (SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETTRICE DEL 2° E 4° QUADRANTE)

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′

P

P O ( )

P x

; y

= −

 x y

'

( )

′ − − 

le coordinate di P y ; x saranno si ha dunque l’inversione

= −

 y x dell’ascissa con l’ordinata e

viceversa cambiate di segno.

RISPETTO AD UN PUNTO

Si dice simmetria rispetto ad un punto C, che si chiama centro di simmetria, la trasformazione

=

′ ′

P PO OP

che a ogni punto P fa corrispondere sulla retta OP il punto tale che

1° CASO (SIMMETRIA RISPETTO AD UN PUNTO DI COORDINATE GENERICHE)

y ′

P C P x ( ) ( ) ( )

O ′

P x

; y P x '; y ' C x ; y

0 0

= −

 x ' 2 x x

′ 0



P si ottengono

le coordinate di dunque il punto avrà coordinate

= −

 ' 2

y y y

0

( )

′ − −

P 2 x x

; 2 y y

0 0

2° CASO (SIMMETRIA RISPETTO AD UN PUNTO CHE COINCIDE CON L’ORIGINE

DEGLI ASSI)

y ′

P

O ( )

x

P ( ) ( )

′

O 0

;

0 P x '; y ' P x

; y

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= −

 '

x x

′ 

P

le coordinate di si ottengono dunque il punto avrà coordinate

= −

 '

y y

( )

− −

P x

; y

ANGOLI ASSOCIATI (SIMMETRIE GONIOMETRICHE)

ANGOLI SUPPLEMENTARI ( )

π

Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma dà un angolo piatto.

y P

′

P π − α α

O Q x

′

P

P e sono due punti (simmetrici rispetto all’asse y) le cui coordinate sono:

( ) ( )

π − α π − α

α α ′

P cos ;sen

P cos ;sen

e per quanto detto in precedenza (ascissa ordinata uguale) avremo

( )

π − α = − α

cos cos

( )

π − α = α

sen sen ′

P

pertanto le coordinate di saranno:

( )

′ −

P cos x

;sen x

sostituendo alla tangente avremo:

( )

π − α α

sen sen

( )

π − α = = = − α

tg tg

( )

π − α − α

cos cos

dunque:

( )

π − α = − α

tg tg

Esempi:

Esercizio riguardante archi supplementari:

( ) ( ) ( )

α − π − α + α − π − α + π − α

sin cos cos tg ctg

= α + α + α + α − α

sin cos cos tg ctg

= α + α + α − α

sin 2 cos tg ctg

Esercizio riguardante archi supplementari:

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( ) ( )

− − −

π α π α

ctg tg

−

α α

tg ctg

− +

α α

ctg tg

= −

α α

tg ctg

−

α α

tg ctg

= = 1

−

α α

tg ctg

Esercizio riguardante archi supplementari:

( ) ( )

π α π α

− − −

sin tg

( )

π α

+ −

1 sin α

sin

α +

sin

α α

+ α

sin tg cos

= = =

α α

+ +

1 sin 1 sin

α α α

+

sin cos sin 1

= ⋅ =

α α

+

cos 1 sin

( ) ( )

α α α

+ +

sin 1 cos 1 cos

α

= = ⋅

tg

( ) ( )

α α α

+ +

cos 1 sin 1 sin

ANGOLI CHE DIFFERISCONO PER UN ANGOLO PIATTO

Due angoli si dicono non supplementari quando la loro differenza non è in

angolo piatto. P

α

O

π + α

′

P

′

P

P e sono due punti (simmetrici rispetto all’origine O) le cui coordinate sono:

[ ]

( ) ( )

( ) π − α π + α

α α ′

P cos ;sen

P cos ;sen

e per quanto detto in precedenza sulle simmetrie:

( )

π + α = − α

cos cos

( )

π + α = − α

sen sen ′

P

pertanto le coordinate di saranno:

( )

− α − α

′

P cos ; sen

sostituendo alla tangente avremo

Appunti a cura di Robert