Matematica per le applicazioni I - numeri

Fondamenti algebrici: numeri

Fra tutti gli insiemi, quelli formati da numeri rivestono un ruolo fondamentale. Vi sono diversi tipi di numeri, i più importanti fra i quali possono essere divisi in due grandi categorie: i numeri reali e i numeri complessi (dove i secondi costituiscono una estensione, una generalizzazione, dei primi). Esistono altri tipi di numeri ed altri ancora possono essere creati, ma i numeri reali ed i numeri complessi sono di gran lunga i più importanti. Ogni capitolo della matematica fa riferimento ad essi.

Numeri reali

Per quanto riguarda i numeri reali, diamo qui solo una breve ed essenziale presentazione dal punto di vista squisitamente algebrico (come sistema algebrico, ovvero come insieme dotato di operazioni e relazioni d'ordine). Si presuppone che le regole e le proprietà di calcolo dei suddetti siano note in quanto appresi a livello scolastico medio.

I numeri reali, indicati dal simbolo R, si può dire che siano formati da diversi tipi di numeri la cui unione fornisce appunto l'insieme R. I numeri naturali N, i numeri interi I, i numeri razionali Q ed i numeri irrazionali R - Q (di solito l'insieme dei numeri irrazionali viene indicato come differenza fra i reali ed i razionali) costituiscono l'insieme R.

Numeri complessi

Circa i numeri complessi, ne daremo brevemente e sinteticamente le nozioni fondamentali con lo scopo di pervenire ad un loro modello geometrico di semplice ed intuitivo utilizzo.

01 - Numeri naturali N

I numeri naturali 1, 2, 3 … sono alla base della teoria dei numeri. Essi non sono definibili e per essi valgono i tre assiomi di Peano. Una loro esposizione intuitiva è la seguente:

• 1’ assioma di Peano: esiste il numero 1 e l’insieme N-{1} non è vuoto.
• 2’ “ “: ogni numero naturale possiede un successivo.
• 3’ “ “: ogni numero naturale si ottiene da 1 contando in successione.

Questi tre assiomi costituiscono la base logica di tutta la teoria dei numeri. Da questi tre assiomi discende immediatamente il principio di induzione matematica che assicura che una affermazione è vera per ogni n appartenente ad N se è vera per n = 1 ed, essendo vera per n, lo è anche per n+1. Questo principio può essere utilizzato ogni volta in cui si vuole dimostrare l’esattezza di una affermazione legata ai numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali dotato delle operazioni di somma (+) e moltiplicazione (*) e della relazione d’ordine di minore (<) è un sistema algebrico e viene denotato con (N; +, *, <).

02 - Numeri interi I

Consideriamo il prodotto cartesiano formato dalle coppie ordinate di numeri naturali (a,b) che indichiamo per comodità a – b (qui il simbolo - è usato per comodità e non indica ancora la sottrazione).

Introduciamo in la relazione di equivalenza ≈ definita da: (a – b ≈ c – d) ↔ (a + d = b + c). Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione (-) come operazione inversa della somma.

Vediamo alcuni esempi di coppie ordinate appartenenti alla suddetta relazione:

• (5,3) = 5 – 3 ≈ (8,6) = 8 – 6 ≈ (10,8) = 10 – 8 ≈ …
• (1,1) = 1 – 1 ≈ (4,4) = 4 – 4 ≈ (12,12) = 12 – 12 ≈ …
• (2,5) = 2 – 5 ≈ (3,6) = 3 – 6 ≈ (8,11) = 8 – 11 ≈ …

La relazione di equivalenza ≈ induce una partizione in classi di equivalenza, ciascuna delle quali definisce un numero intero. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri interi I ed è uguale all’insieme quoziente.

Dall’esempio precedente:

• 5 – 3 = 8 – 6 = 10 – 8 = … = [2] = 2 (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)
• 1 – 1 = 4 – 4 = 12 – 12 = … = [0] = 0
• 2 – 5 = 3 – 6 = 8 – 11 = … = [-3] = -3

Un numero intero è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti ad una data che si ottiene dalla differenza (inverso della somma) fra due numeri naturali qualunque. Per comodità ogni numero intero viene indicato non dalla sua classe ma da un numero naturale preceduto dal segno + oppure - (il segno + può essere omesso).

L’insieme dei numeri interi è quindi I = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} e su di esso sono definite le operazioni di somma (+), sottrazione (-, l’operazione inversa della somma) e moltiplicazione (*). Il sottoinsieme dei numeri interi positivi è indicato da I⁺, mentre quello dei numeri negativi è indicato da I^-.

L’insieme I dotato delle operazioni somma (+) e moltiplicazione (*) e della relazione d’ordine minore (<) costituisce il sistema algebrico dei numeri interi (I; +, *, <). Il sistema (I; +, *, <) è legato all'insieme (N; +, *, <) da una applicazione biunivoca (si dice che i due sistemi sono algebricamente isomorfi) per cui I rappresenta una estensione di N: (dove col simbolo ≅ intendiamo appunto l'isomorfismo algebrico).

03 - Numeri razionali Q

Consideriamo il prodotto cartesiano I x {I - {0}} formato dalle coppie ordinate di numeri interi (m,a) che indichiamo per comodità m / a (qui il simbolo / non indica ancora la divisione). La seconda coordinata deve essere diversa da zero.

Introduciamo in I x {I - {0}} la relazione di equivalenza ≈ definita da: (m / a ≈ n / b) ↔ (m * b = n * a). Essa introduce intuitivamente l’operazione di divisione (/) come operazione inversa della moltiplicazione.

Vediamo alcuni esempi di coppie ordinate appartenenti alla suddetta relazione:

• (3,4) = 3/4 ≈ (6,8) = 6/8 ≈ (-12,-16) = 12/16 ≈ …
• (1,1) = 1/1 ≈ (3,3) = 3/3 ≈ (4,4) = 4/4 ≈ …
• (-3,1) = -3/1 ≈ (6,-2) = -6/2 ≈ …