Matematica per le applicazioni I - le funzioni

Dispensa di Analisi Matematica ad uso delle 5© 1997 Prof. Letterio Guglielmo – I.P.S.A.A. “Paolo Balsamo” - Palermo

Si cerchino i punti di massimo e di minimo della seguente funzione e si individuino gli intervalli di crescenza e decrescenza: 3 2  y x 3 x 2

1. Si calcola la derivata prima: 2  y ' f ' ( x ) 3 x 6 x
2. Si studia il segno della derivata (ponendo prima y’>0 e poi y’<0):2y ' 0 2 3( x 2 x ) 0   x 2 x 0 da cui, risolvendo: e .x 0 x 2
3. y ' 0 2 3( x 2 x ) 0   x 2 x 0da cui: . 0 x 2

Dato che la derivata prima è positiva per tutti i valori <0 e per tutti i valori >2, si conclude affermando che la funzione in questione è crescente in questi intervalli. Inoltre, dato che la stessa derivata è negativa per tutti i valori compresi tra 0 e 2 si conclude che in tale intervallo la funzione è decrescente.

Flessosi ricavano dallo studio della derivata della derivata, detta anche derivata seconda. Si procede nel modo seguente:

1. Si calcola, innanzitutto, la derivata seconda y'' della funzione;
2. Si studia, poi, il segno della y'', cioè si cercano gli intervalli in cui la derivata seconda è positiva (in essi la curva volge la concavità verso l'alto) e gli intervalli in cui la derivata seconda è negativa (in essi la curva volge la concavità verso il basso detta anche convessità);
3. Si pone poi la y''=0. Se l'equazione ha soluzione, in quel valore la curva ha un punto di flesso (ossia in esso la curva inverte la sua concavità).

Esempio: Si cerchino i punti di flesso della precedente funzione e se ne determini la concavità e la convessità: 3x^2 - 2x + 2

1) Si calcola la derivata prima e successivamente la derivata seconda:

y' = 6x

fi −y′ f′(x) 3x6x2) Si studia il segno della derivata seconda (ponendo prima y″>0 e poi y″<0):fiy′′ 0 ⇾ ⇾fi− ⇾−6x60x10da cui, risolvendo: .⇾x 1ffly′′ 0 ⇾ ⇾fi′ ⇾′−6x60x10da cui: .fix 1Dato che la derivata seconda è positiva per tutti i valori >1 si conclude affermando che la funzione in questione è concava verso l′alto in questo intervallo.Inoltre, dato che la stessa derivata seconda è negativa per tutti i valori <1 si conclude che in tale intervallo la funzione è concava verso il basso o convessa.3) Infine, poiché la derivata seconda si annulla per il valore 1, ossia f′′(0)=1 si conclude che in x=1 c′è un punto di flesso.Concludendo, dallo studio della derivata seconda della funzione esempio abbiamo ricavato le seguenti informazioni:a. Per valori minori di 1 la funzione è concava verso il basso

o convessa;eDispensa di Analisi Matematica ad uso delle 5© 1997 Prof. Letterio Guglielmo – I.P.S.A.A. “Paolo Balsamo” - Palermo5b. In x=1 la funzione ha un punto di flesso;c. Per valori maggiori di 1 la funzione è concava verso l’alto.

VI.6 Asintoti

Si consideri una funzione y=f(x) che da un certo valore di x in poi abbia lacaratteristica di avvicinarsi sempre più ad una retta senza mai toccarla. La retta inquestione si dice asintoto della funzione. Chiaramente, ciò può verificarsi quando almenouno degli estemi del C.E. è infinito. Vediamo quali tipi di asintoti esistono e come siprocede per individuarli.

VI.6.1 Asintoti orizzontali

Si calcola il seguente limite: lim f ( x ) x

Se il limite esiste ed è uguale a un valore finito k si dice che la retta y=k rappresentaun asintoto orizzontale per la curva.

Se invece è:  lim f ( x ) k lim f ( x ) he   x xla curva avrà due asintoti orizzontali,

E rispettivamente le rette: y=k e y=h. La prima retta prende il nome di asintoto orizzontale destro, la seconda di asintoto orizzontale sinistro.

VI.6.2 Asintoti verticali

Si calcolano i seguenti limiti: lim f(x) e lim f(x) quando x tende a c.

Se il primo limite o il secondo o entrambi sono uguali a ±∞, si dice che la retta x=c rappresenta un asintoto verticale per la curva.

VI.6.3 Asintoti obliqui

Come vedere, durante lo studio di una funzione, se essa presenta un asintoto obliquo? E come determinarlo?

Si ricordi che una qualunque retta del piano ha equazione: y=mx+q

Tra tutte queste rette, quella tangente alla curva all'infinito ha parametro angolare: m=lim f'(x) quando x tende a ∞

Il valore di q si ottiene calcolando: q=lim [f(x)-mx] quando x tende a ∞

Possono verificarsi i

seguenti casi:

1. non esiste asintoto obliquo
2. non esiste asintoto obliquo

Quindi, se uno dei limiti è infinito, l'asintoto obliquo non esiste, se ambedue sono finiti (con m ≠ 0) l'asintoto obliquo esiste.

VI.7 Un esempio di studio di funzione

Studiare la funzione: x = y^2 + 1

1. Campo di esistenza:

Poiché si tratta di una funzione razionale fratta, il C.E. sarebbe dato da tutti i valori della x che non annullano il denominatore; ma riflettendo, si osserva che il denominatore non potrà mai essere nullo, in quanto la somma tra 1 e il quadrato di x non potrà mai essere una quantità negativa. Si conclude affermando che il C.E. della funzione è dato da tutto l'insieme dei numeri reali.

2. Intersezioni con gli assi:
1. Per determinare l'eventuale intersezione con l'asse x:

delle y, poniamo x=0. Si ottiene: 0/0 = y/0+1 = y/1

Il punto P(0, 0) rappresenta l'intersezione con l'asse delle ordinate.

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2.1) Per determinare l'eventuale intersezione con l'asse delle x, poniamo y=0. Si ottiene: x = 0 da cui: x/0+1 = x/1

Il punto P(0, 0) rappresenta l'intersezione con l'asse delle ascisse.

Si conclude affermando che il punto P(0, 0) rappresenta l'unico punto di intersezione della funzione con gli assi coordinati.

3) Crescenza, decrescenza, punti di massimo e di minimo.

Si calcola la derivata prima della funzione: y' = 2x/(2+(1/x))

Si pone la y' maggiore di zero e si risolve la disequazione: 2x/(2+(1/x)) > 0

Poiché il denominatore, essendo un quadrato, è necessariamente una quantità positiva, è necessario che anche il numeratore

(affinché il quoziante sia una quantità positiva) sia maggiore di zero: 2 < x < 1

Dato che la derivata prima è positiva per tutti i valori compresi tra -1 e 1, si conclude affermando che la funzione in questione è crescente in questo intervallo.

Si pone, poi, la y' minore di zero e si risolve la disequazione: 2 - 1 x < 0

Poiché il denominatore, essendo un quadrato, è necessariamente una quantità positiva, è necessario che il numeratore (affinché il quoziante sia una quantità negativa) sia minore di zero: 2 < x < 1 e x < 0

Dato che la derivata prima è negativa per tutti i valori minori di -1 e maggiori di 1, si conclude affermando che la funzione in questione è decrescente in questi intervalli.

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 -1 +1y’<0 y’>0 y’<0

Infine, poiché la derivata prima si annulla per i valori -1 e +1, ossia f’(-1)=0 ef’(+1)=0, si conclude che in x=-1 c’è un minimo e in x=+1 c’è un massimo (comesi evince anche osservando il grafico e il senso delle frecce).

Concludendo, dallo studio della derivata prima della funzione abbiamo ricavatole seguenti informazioni:

a. Per valori minori di -1 la funzione è decrescente;

b. In x=-1 la funzione ha un minimo;

c. Per valori compresi tra -1 e 1 la funzione cresce;

d. In x=1 la funzione ha un massimo;

e. Per valori maggiori di 1 la funzione è decrescente.

4) Concavità, convessità e punti di flesso:

Si calcola la derivata seconda della funzione:

2 2 2  2 x ( x 3)(1 x ) 2 x ( x 3) y ' ' 2 4 2 3 (1 x ) (1 x )

Si studia il segno della derivata seconda (ponendo prima y’’>0

e poi y''<0)