Matematica generale - concetti

GRUPPI CICLICI E OMOMORFISMI ≅

≅ G Z

G Z

Sia G un gruppo ciclico. Se G è infinito . Se G è finito .

n

{ }

= −

Z [ 0 ], [

1

],..., [ n 1

] [r ]

Sia . Data la classe esiste l’inversa se:

n ⋅ = ⇒ ≡ ⇒ =

[ r ] [ x ] [

1

] rx 1

( n ) ( r , n ) 1

Se n è un numero primo esiste sempre l’inversa.

+ ⋅

( Z , ) ( Z , )

Rispetto all’operazione di addizione forma un gruppo abeliano mentre forma un gruppo se

n n

= + ⋅

( r , n ) 1 ( Z , , )

, quindi se è valida quest’ultima condizione forma un anello.

n

Es. [ ]

= =

Z [ 0 ], [

1

], [ 2 ],..., [

19 ] [r ] ( r , 20 ) 1

Sia n=20. . Consideriamo tutte le classi : .

20

[ ]

= Z

X [

1

], [ 3

], [ 7 ], [ 9 ], [

11

], [

13

], [

17 ], [

19 ] . X costituisce un sottogruppo di ?

20

[ ]

− − −

= = =

1 1 1

X [

1

], [ 7 ], [ 3

], [ 9 ], [

11

], [

17 ], [

13

], [

19 ] [

1

] [

1

] [ 3

] [ 7 ]

, in quanto ad es. , ...

⋅ = =

[ 3

] [ 7 ] [ 21

] 21 mod 20 1

Xchè , .

{ }

= = =

Y [

1

], [ 3

], [ 7 ], [ 9 ] [ 3

] [

1

] [ 3

] [ 3

]

Sia . Y è un sottogruppo di X ciclico generato da [3]. Infatti , ,

0 1

= =

2 3

[ 3

] [ 9 ] [ 3

] [ 7 ]

, .

{ }

=

Z [

1

], [ 9 ]

Sia . Z è un sottogruppo ciclico generato da [9].

Consideriamo il laterale sinistro di Y rispetto alla classe [11]:

{ } { }

= ⋅Y =

Y [

1

], [ 3

], [ 7 ], [ 9 ] [

11

] [

11

], [

13

], [

17 ], [

19 ]

⋅

[

11

] Y

X Y

Notiamo che abbiamo effettuato una partizione di in e .