Matematica - esami di stato 2008/2009

Problema 1

Calcolo dell'area S

È assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti).

1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da S(x) = r² (x − sen x) con x ∈ [0, 2π].

2. Si studi come varia S(x) e se ne disegni il grafico (avendo posto r = 1).

3. Si fissi l’area del settore AOB pari a 100 m². Si trovi il valore di r per il quale è minimo il perimetro di AOB e si esprima il corrispondente valore di x in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al grado).

4. Sia r = 2 e x = π/3. Il settore AOB è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani ortogonali ad OB sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di W.

Questionario

Funzione derivata

1. Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0, 2).

2. Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?

3. Per quale o quali valori di k la curva d’equazione y = x³ + kx² + 3x − 4 ha una sola tangente orizzontale?

4. “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

5. Si considerino le seguenti espressioni: 0, 1⁰, 0⁰; a quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

6. Si calcoli: lim x→−∞ (xⁿ − k) / xⁿ.

7. Si dimostri l’identità C(n, k+1) = C(n, k) + C(n, k+1) con n e k naturali e n > k.

8. Si provi che l’equazione: x²⁰⁰⁹ + 2009x + 1 = 0 ha una sola radice compresa fra −1 e 0.

9. Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.

10. Si determini il periodo della funzione f(x) = cos(5x).

Soluzioni ai quesiti

• Quesito 1:

  L’integrale di sen x è −cos x. La funzione è allora y = −cos(x) + costante. Imponendo il passaggio per il punto (0, 2) si ha 2 = −cos(0) + costante, ovvero costante = 3. La funzione è allora y = 3 − cos(x).

• Quesito 2:

  Poiché gli elementi del dominio (di A) sono maggiori di quelli del codominio (di B), non possono esistere funzioni iniettive e neanche biettive quindi. Tutte le funzioni saranno dunque suriettive.

• Quesito 3:

  La curva ha tangente...