Algebra lineare e geometria - Appunti

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

Poma Divo

Indice

1 Nozioni di algebra: gruppi e campi 2

2 Numeri complessi 3

3 Matrici, determinanti e sistemi lineari 5

4 Spazi Vettoriali 12

5 Applicazioni lineari 18

6 Geometria analitica 22

7 Endomorfismi: cambiamenti di base 30

8 Autovalori e autovettori 31

9 Prodotti scalari e spazi euclidei 35

10 Proiezioni e triangolarizzabilitá 43

1

Capitolo 1

Nozioni di algebra: gruppi e campi

Si introducono due sole nozioni di algebra che saranno utili per la definizione delle matrici

e degli spazi vettoriali

Definizione 1.1. Si definisce gruppo una struttura algebrica formata da un insieme

con un’operazione binaria (come la somma o il prodotto) che soddisfa alcuni assiomi,

cioé l’associativitá, l’esistenza dell’elemento neutro e dell’inverso. Se soddisfa anche la

commutativitá il gruppo e’ detto commutativo o abeliano.

\ {0}, ·), \ {0}, ·),

esempi di gruppi commutativi: (Z, +), (Q, +), (Q (R, +), (R (C, +),

\ {0}, ·)

(C

Definizione 1.2. Si definisce campo una struttura algebrica formata da un insieme con

due operazioni binarie (solitamente somma e prodotto) rispetto a ciascuna delle quali

é un gruppo commutativo (al pi privato dello 0 per l’operazione di prodotto) e vale la

proprietá distributiva del prodotto rispetto alla somma.

·), ·), ·)

esempi di campi: (Q, +, (R, +, (C, +,

2

Capitolo 2

Numeri complessi

Il campo dei numeri complessi costituisce la chiusura algebrica del campo dei numeri

C 2 −1,

reali Definita l’unita’ immaginaria i tale che i = il campo dei numeri complessi

R. ∈

e’ costituito dai numeri della forma a + ib con a, b

C R.

⇐⇒ <(z) =(z)

z = a + ib = a e = b 0 0 0

Dati i numeri complessi z = a + ib e z = a + ib si definiscono le operazioni di:

0 0 0

• somma z + z = (a + a ) + i(b + b ) con le proprieta’ :

– commutativa

– associativa

– elemento neutro

– opposto

0 0 0 0 0

• −

prodotto zz = (aa bb ) + i(ab + a b) con le proprieta’ :

– commutativa

– associativa

– elemento neutro −1 a b

∀ ∈ \ {0}∃ −

– inverso z z = i

C 2 2 2 2

a +b a +b

Definizione 2.1. Dato il numero complesso z = a + ib si definisce coniugato di z (e si

−

indica con z̄ ) il numero complesso z̄ = a ib.

Le proprieta’ del coniugato di un numero complesso sono:

• ∈

z + z̄ = 2a R

2 2

• ∈

z z̄ = a + b R

¯

0 0

• z + z = z̄ + z

¯

0 0

• zz = z̄ z 3

• ⇐⇒ ∈

z = z̄ z R

Definizione 2.2. Si definisce modulo del numero complesso z = a + ib il numero reale

√ √

2 2

|z|= a + b = z z̄ = ρ.

Definizione 2.3. Si definisce argomento del numero complesso z = a + ib l’angolo

aρ b

θ = arccos = arcsin .

ρ

forma trigonometrica di un numero complesso: z = ρ(cos θ + i sin θ)

0 0 0

⇐⇒ ∧ ∈

z = z ρ = ρ θ = θ + 2πk, k Z

0 0 0 0

zz = ρρ [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )]

n n

formula di De Moivre: z = ρ [cos(nθ) + i sin(nθ)]

Teorema 2.0.1 (fondamentale dell’algebra). Un’equazione algebrica di grado n a coef-

ficienti reali ha sempre esattamente n soluzioni in campo complesso.

Proposizione 2.0.2. Un’equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali ha

sempre almeno una soluzione reale.

n ∈ ∀ ∈

Dimostrazione. Sia a x + ....... + a x + a = 0 con a i = 0...n e sia α

R C

n 1 0 i

n

soluzione, quindi a α + ....... + a α + a = 0 . Per le proprieta’ dei numeri complessi, sia

n 1 0 n

n

ha anche che a α + ....... + a α + a = 0̄ e conseguentemente a ᾱ +.......+a ᾱ+a = 0

n 1 0 n 1 0

, quindi anche ᾱ e’ soluzione. α e ᾱ sono soluzioni accoppiate, quindi se n e’ dispari, per

il teorema fondamentale dell’algebra, un numero dispari di coppie di soluzioni coniugate

(in particolare almeno 1) deve coincidere ed essere percio’ un unico numero reale. Si e’

quindi provato che un’equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali ha almeno

una radice reale. n

radici n-esime di un numero complesso: x = α = ρ (cos θ + i sin θ )

0 0 0 0

n

⇐⇒

α = ρ(cos θ + i sin θ) e’ soluzione α = α

0 √ θ 2πk

n ⇐⇒ ∧ ∈

ρ (cos(nθ) + i sin(nθ)) = ρ (cos θ + i sin θ ) ρ = ρ θ = + ,k

0

n Z

0 0 0 0 n n a+ib

Definizione 2.4. Si definisce esponenziale complesso il numero complesso e =

a

e (cos b + i sin b). L’esponenziale complesso gode delle stesse proprieta’ delle potenze

di numeri reali. iθ

Dall’uguaglianza e = cos θ + i sin θ si puo’ giungere alla forma esponenziale di un

iθ

numero complesso z = ρe 4

Capitolo 3

Matrici, determinanti e sistemi lineari

·

Definizione 3.1. Si definisce matrice m n ad elementi in un campo K un insieme di

·

m n elementi del campo disposti in m righe e n colonne.

 

a a . . . a

11 12 1n

...

 

A =  

...

 

a a . . . a

m1 m2 mn

Definizione 3.2. Se m = n la matrice e’ detta quadrata e gli elementi a tali che i = j

ij

formano la diagonale principale mentre quelli tali che i + j = n + 1 formano la diagonale

secondaria. ∈ ·

Definizione 3.3. Si definisce matrice trasposta di una matrice A K(m n) la matrice

t ∈ ·

A K(n m) ottenuta scambiando le righe con le colonne.

∈ ·

Definizione 3.4. Una matrice quadrata A K(n n) e’ detta:

t

• ∀

simmetrica se a = a i, j = 1....n e quindi A = A

ij ji t

• −a ∀ −

antisimmetrica se a = i, j = 1....n quindi A = A e a = 0

ij ji ii

• ∀

triangolare superiore se a = 0 i > j

ij

• ∀

triangolare inferiore se a = 0 i < j

ij

• ∀ 6

diagonale se a = 0 i = j

ij ∈ ·

Somma di matrici A = (a ) e B = (b ) K(m n) : A + B = (a + b ) con le

ij ij ij ij

proprietá:

• commutativa

• associativa

• elemento neutro 5

• opposto ·

L’insieme delle matrici m n con l’operazione di somma costituisce un gruppo abeliano

·

(M (m n), +) ∀ ∈ ∀ ∈ ·

Prodotto di una matrice per uno scalare del campo λ K, A K(m n)

λA = (λa )

ij ∈ · ∈ · ·

Prodotto righe per colonne A K(m n) e B K(n p) : si definisce A B =

n

P

∈ · a b con le proprietá:

C K(m p) con c =

ij ik kj

k=1

• associativa

• distributiva del prodotto rispetto alla somma ∈ ·

n.b.: non vale la proprieta’ commutativa (e, tranne nel caso in cui A K(m n) e

∈ ·

B K(n m), se e’ definito AB non sara’ definito BA)

Definizione 3.5. Si definisce determinante di una matrice quadrata una funzione che

associa ad una matrice quadrata un numero del campo con determinate proprieta’ (mul-

· →

tilinearitá, alternanza, normalizzazione per la matrice identitá) f : K(n n) K,

7−→ |

A detA =| A

n=1 A = (a ) detA = a

11 11

 

a a

11 12 −

n=2 A = detA = a a a a

11 22 12 21

 

a a

21 22

A = sottomatrice ottenuta cancellando l’i-esima riga e la j-esima colonna

ij

1’ formula di Laplace n i+k

P

• (−1) a detA

rispetto alla riga i detA = ik ik

k=1 n j+k

P

• rispetto alla colonna j detA = (−1) a detA

kj kj

k=1

2’ formula di Laplace n

X k+r

(−1) a detA = 0

kr ks

k=1

6

con r = s

Osservazione 1. La seconda formula di Laplace implica che se una matrice ha due righe

uguali allora il determinante é nullo. 6

Proprietá del determinante

  



a a . . . a A

11 12 1n 1

... . . .

  



notazione A = =

  



... . . .

  



a a . . . a A

n1 n2 nn n

 

 

A A

1 1

... . . .

 

 

 

 

• ρA A

P1. det = ρdet

i i

 

 

 

 

... . . .

 

 

A A

n n

Dimostrazione. Per induzione, dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone

vera la proprietá per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.

 

A 1

...

  n

  i+k

P

ρA

det = (−1) ρa detA = ρdetA.

i ik ik

 

  k=1

. . .

 

A n

     

A A A

1 1 1

... . . . . . .

     

     

• A + B A B

P2. det = det + det

i i i i

     

     

... . . . . . .

     

A A A

n n n

Dimostrazione. Per induzione, dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone

vera la proprietá per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.

 

A 1

...

  n

  i+k

P

A + B (−1) (a + b )detA = detA + detB.

=

det i i ik ik ik

 

  k=1

. . .

 

A n  

  A

A 1

1 . . .

. . .

   

   

A

A j

i  

  

   6

−det

• . . .

. . . con i = j

=

P3. det    

   

A A

j i

 

 

   

. . . . . .

   

A A n

n

Dimostrazione. Si verifica applicando le proprietá precedenti alla seguente matrice

con determinante nullo (avendo due righe uguali)

7   

   

 

 A

A

A A A

1 1 1

1

1 . . . . . . . . .

. . .

...   

   

 

   

   

 

 A A A

A

A + A i j j

i

i j   

   

 

   

   

 

 . . . . . . . . .

. . .

. . . + det

= 0 = det

det + det + det =

  

   

 

   

   

 

 A A A

A

A + A j i j

i

i j   

   

 

   

   

 

 . . . . . . . . .

. . .

...   

   

 

 A A A

A

A n n n

n

n 

 

 

 

 A

A

A

A 1

1

1

1 . . .

. . .

. . .

. . . 

 

 

 

 

 

 

 

 A

A

A

A j

i

j

i 

 

 

 

 

 

 

 

 −det . . .

. . .

. . .

. . . .

=

=⇒ det

+ det

det 

 

 

 

 

 

 

 

 A

A

A

A i

j

i

j 

 

 

 

 

 

 

 

 . . .

. . .

. . .

. . . 

 

 

 

 A

A

A

A n

n

n

n

• ∈ ·

P4. Il determinante della matrice identitá (A (n n) tale che a = δ , dove δ

ij ij ij

6

e’ il delta di Kronecker, uguale a 1 se i = j e uguale a 0 se i = j) vale 1.

Il determinante non cambia se si somma ad una riga una combinazione lineare delle

rimanenti righe.

Si dimostra essere unica la funzione che gode delle proprietá P1, P2, P3 e P4.

Le proprietá enunciate per le righe valgono ugualmente per le colonne e in particolare

t

vale anche che detA = det A

Teorema 3.0.3 (di Binet). det(AB) = det(A)det(B) det(AB)

· → 6 ∀ ∈ ·

Dimostrazione. f : K(n n) K fissata B con detB = 0 A (n n) f (A) = det(B)

f (A) gode delle proprietá P1, P2, P3, P4 e quindi f (A) = det(A)

det(AB) ⇐⇒

det(A) = det(AB) = det(A)det(B)

det(B)

il teorema, come si proverá pi avanti, continua a valere anche se det(B) = 0

6

Teorema 3.0.4 (di invertibilitá). A é invertibile se e solo se detA = 0

−1 −1

⇒ 6

Dimostrazione. Hp)∃ A /AA = I Ts) detA = 0

−1 −1

det(AA ) = det(I) = 1, per il teorema di Binet det(A)det(A ) = 1 e per la legge di

6

annullamento del prodotto deve essere detA = 0

−1 −1

⇐ 6 ∃

Hp)detA = 0 Ts) A /AA = I

detA

i+j ij

considero B = (b ) = ((−1) )

ij detA detA detA

1+n

   

a a . . . a . . . . . . (−1)

11 n1

11 12 1n detA detA

... ...

   

A = B =

   

... ...

   

detA detA

1+n

a a . . . a (−1) ......

1n nn

n1 n2 nn detA detA

AB =⇒

• i-esima riga di A per i-esima colonna di B, per la prima formula di Laplace é uguale

a1 8

• 6

i-esima riga per j-esima colonna (i = j), per la seconda formula di Laplace é nullo

−1

AB é quindi uguale alla matrice identitá, perci B = A .

Si é quindi trovata esplicitamente l’espressione dell’inversa di una matrice con determi-

nante non nullo.

Sistemi lineari

Prendiamo in considerazione un sistema quadrato (detto di Cramer) di n equazioni in n

incognite



a x + . . . . . . + a x = b

11 1 1n n 1





......



a x + . . . . . . + a x = b

 n1 1 nn n n

il sistema pu essere scritto in forma matriciale 

 

 

 x

b

a a . . . a 1

1

11 12 1n . . .

. . .

... 

 

 

 AX = B

X =

B =

A = 

 

 

 . . .

. . .

... 

 

 

 x

b

a a . . . a n

n

n1 n2 nn detA detA

1+n

 

  b

. . . . . . (−1)

11 n1 1

detA detA . . .

. . .

−1  

 

6

Se detA = 0 si pu scrivere X = A B =  

 

. . .

...

 

 

detA detA

1+n b

......

(−1) nn

1n n

detA detA

(1) (i−1) (i+1) n

det(A ...A BA ...A )

Ciascuna delle incognite x sará quindi uguale a (regola di

i detA

Cramer) ∈ ⇐⇒

Definizione 3.6. Si definisce rango di una matrice ρ(A) = p N

• ∃ una sottomatrice di ordine p con determinante non nullo

• ogni sottomatrice di ordine superiore a p ha determinante nullo

Definizione 3.7. In una matrice A, r righe si dicono linearmente indipendenti se l’unica

loro combinazione lineare che fornisce la riga nulla é quella a coefficienti tutti nulli.

Definizione 3.8. In una matrice A, r righe si dicono linearmente dipendenti se esiste

una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che fornisce la riga nulla

e in questo caso é possibile esplicitare una riga il cui coefficiente é non nullo come

combinazione lineare delle rimanenti.

proprietá del rango: 0

• ⇒ ≤

A’ sottomatrice di A ρ(A ) ρ(A)

t

• ρ(A) = ρ( A) 9

• scambiando due righe o colonne il rango non cambia

Osservazione 2. Se A , A , . . . , A indipendenti⇒ ogni sottinsieme é linearmente indi-

1 2 n

pendente. ⇒

Osservazione 3. Se A , A , . . . , A dipendenti se si aggiungono righe, restano dipen-

1 2 n

denti. ∈ ·

Teorema 3.0.5 (degli orlati). Sia A K(m n). Se ρ(A) = p allora esistono p ri-

ghe (e colonne) linearmente indipendenti e ogni altra e’ combinazione lineare delle p

indipendenti.  

a . . . a . . . a

11 1p 1n

...

 

 

a . . . a . . . a

Dimostrazione. A = p1 pp pn

 

 

...

 

a . . . . . . . . . a

m1 mn

B sottomatrice di A di ordine p con determinante diverso da 0 perché il rango di A é p

⇒ 6 ⇒righe

(righe dipendenti detB = 0)⇔ (detB = 0 indipendenti)

 

a ... a a

11 1p 1,p+1

. . . . . . ...

0  

B =  

a ... a ...

p1 pp

 

a . . . a a

p+1,1 p+1,p p+1,p+1

B’ e’ orlata con una riga in pi scelta tra la rimanenti e una colonna qualunque

0

• ∀

1’ caso i > p j = 1, ..., p 2 colonne uguali quindi detB = 0

• ∀

2’ caso i > p j = p + 1, ..., n B’ sottomatrice di A di ordine p+1 ma il rango di

0

A é p quindi detB = 0

0

1+j i+j 6

0 = (−1) detB + . . . + (−1) a detB = 0 con detB = 0

ij

1j 0

1+j

(−1) a detB

ij 1j

∀ ⇒ −

i > p∀ j = 1, ..., n a a = + . . . = λ a + . . . + λ a =

ij ij 1 1j p pj

detB

p

P λ a

i ij

i=1

Teorema 3.0.6 (di Rouché -Capelli). Un sistema m·n ha soluzione se e solo se il rango

della matrice incompleta é uguale a quello della matrice