Fisica matematica 2 - Appunti

Indice

0.1 Vettori della meccanica razionale . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.1.1 Prodotto di un numero per un vettore . . . . . . . . . 6

0.1.2 Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.1.3 Dierenza tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.1.4 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.1.5 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.1.6 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.1.7 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2 Vettori variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.1 Derivata di un vettore variabile . . . . . . . . . . . . . 10

0.2.2 Punti variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.2.3 Regole di calcolo delle derivate . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3 Applicazioni alle curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3.1 Derivata di un versore rispetto all'angolo che forma con

un direzione assegnata passante per un punto sso O . 13

0.4 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.4.1 Accelerazione di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.5.1 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.5.2 Moto piano in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . 19

1

2 INDICE

0.5.3 Velocità areolare o areale . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.5.4 Da cartesiana a intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.6 Corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.6.1 Moto di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.6.2 Moto di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.6.3 Moto di roto-traslazione o elicoidale . . . . . . . . . . . 26

0.7 Cinematica relativa del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

0.7.1 Teorema di composizione della velocità . . . . . . . . . 28

0.7.2 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

0.8 Sistemi di riferimento equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . 28

0.9 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

0.9.1 Distribuzione di massa su una curva unidimensionale . 31

0.10 Grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

0.10.1 Angoli di eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

0.11 Nozioni - Principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

0.11.1 Spostamenti innitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.11.2 Spostamenti consentiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.11.3 Spostamenti invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.11.4 Spostamenti non invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.11.5 Spostamenti proibiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.11.6 Congurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

0.11.7 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

0.12 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

0.12.1 Postulato delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . 35

0.12.2 Legge di azione e reazione . . . . . . . . . . . . . . . . 35

0.12.3 Sistema di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

0.12.4 Sistemi particolari di forze . . . . . . . . . . . . . . . . 37

0.12.5 Sistemi equivalenti di forze . . . . . . . . . . . . . . . . 38

0.13 Forze peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

0.14 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

INDICE 3

0.15 espressioni o forme dierenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

0.15.1 Teorema di Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

0.15.2 Lavoro elementare di . . . . . . . . . . . . . . . 43

~

(

F , P )

0.16 Legge fondamentale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 44

0.17 Equazioni dierenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

0.18 equazioni di secondo grado(normale) . . . . . . . . . . . . . . 49

0.19 Equilibrio dei sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

0.19.1 Punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

0.19.2 Equilibrio - caso conservativo . . . . . . . . . . . . . . 53

0.19.3 Postulato, Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . 53

0.19.4 Stabilità dell'equilibrio (lavoro nito) . . . . . . . . . . 55

0.19.5 Integrale primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

0.19.6 Equazione dierenziale omogenea di 2 ordine . . . . . 56

◦

0.20 Moto unidimensionale di un punto soggetto a forze conservative 58

0.20.1 Discussione alla weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 59

0.21 Dinamica di un sistema di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.21.1 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.21.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.21.3 Teorema di Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

0.21.4 Teorema di Huggens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

0.22 equazione del moto(per un singolo punto materiale) . . . . . . 64

0.22.1 Sistema di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

0.22.2 Principio di D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

0.22.3 Vincoli bilateriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

0.22.4 Esplicitare le formule di Lagrange . . . . . . . . . . . . 68

0.23 Funzioni omogenee di grado m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

0.23.1 Teorema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

0.23.2 Caso di sistema conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 INDICE

Fisica Matematica II

0.1 Vettori della meccanica razionale

Vettore: a partire dai segmenti orientati. Hanno:

modulo, lunghezza di .

AB

Direzione della retta .

AB

Verso quello della freccia.

Allora un vettore è la classe di equivalenza di tutti i segmenti orientati con

lo stesso modulo, direzione e verso.

−→ −

~a = AB = B A

Modulo:

|~a | ≥

= a 0

Vettore nullo: lunghezza nulla ( ),direzione e verso sono arbitrari(è un

A = B

punto).

Se allora è detto versore o vettore unitario.

|~a | = 1 ~a −→

Allora , esiste un tale che:

3

∀O ∈ ~a = AB P

R

origine di ~

A : A

secondo estremo.

B : −→ −

→ −

~a = AB = 0P = P O

Se allora con

3 ∈

V = (x, y, z) x, y, z

R R

viene mandata in una terna di numeri reali.

~a 5

6 INDICE

Fisso la base canonica:

e = (1, 0, 0)

1

e = (0, 1, 0)

2

e = (0, 0, 1)

3 −→ ch'è uguale a

3

− ∈

~a = OP = O P = (a , a , a ) a e + a e + a e

R

x y z x 1 y 2 z 3

0.1.1 Prodotto di un numero per un vettore

∈

λ R

λ~a = (λa , λa , λa )

x y z

- |λ~a | |λ||~a |

=

-stessa direzione di ~a

-verso: stesso se λ > 0

opposto se λ < 0

0.1.2 Somma di vettori

Dati ~b 3

∈

~a, R

~a = (a , a , a )

x y z

~b = (b , b , b )

x y z

Allora: ~b

~a + = (a + b , a + b , a + b )

x x y y z z

~b −

~a + = ~c = C O

−→ −−→ −→

OA + OB = OC

− −

A O + B O = A + B 8 −→

> −

~a = AB = B A

< −−→

>

~

: −

b = BC = C B

0.1 Vettori della meccanica razionale 7

~b − − −

~a + = B A + C B = C A = ~c

−→ −−→ −→ Relazione di Chasles

AB + BC = AC

0.1.3 Dierenza tra due vettori

~b ~b)

−

~a = ~a + (−

−−→ −−→

Se allora

~b ~b

−

= BC = CB

0.1.4 Prodotto scalare commutativa

~b

· ∈

~a = a b + a b + a b R

x x y y z z

~a = (a , a , a )

x y z

~b = (b , b , b )

x y z

~b ~b

· ·

~a = ~a √

È 2 2 2

|~a | ·

a = = a + a + a = ~a ~a

x y z

2

·

~a ~a = a

0.1.5 Disuguaglianza di Schwarz

con

~b| ~b| ~b

|~a · ≤ |~a || 6

~a, = 0

Allora:

~b

·

~a ≤ 1

~b|

|~a || angolo compreso tra e

~ ~b

·

~a b

arccos = φ ~a

~b|

|~a || con

~b

·

~a ≤ ≤

cos φ = 0 φ π

~b|

|~a ||

La rappresentazione intrinseca del prodotto scalare è:

~b ~b|

· |~a ||

~a = cos φ

8 INDICE

se e soltanto se o oppure allora

~b ~b π

·

~a = 0 ~a = 0 = 0 cos φ = 0 φ = 2

Due vettori si dicono ortogonali se e soltanto se ~b

·

~a = 0

Due vettori si dicono paralleli se e soltanto se sono proporzionali, al-

~b

~a,

lora esiste .

~b

∈

λ : = λ~a

R

allora se e soltanto se

·~a

~b λ(~a ) λ

· ±1

~a cos φ = = = φ = 0, π

|~a ||λ||~a | |λ|

In considero:

3

R 8

> ~i

> e = (1, 0, 0) =

> 1

>

< ~j

e = (0, 1, 0) =

2

>

>

>

> ~k

: e = (0, 0, 1) =

3

base ortonormale, sono ortogonali tra loro e di lunghezza

~k)

~i, ~j,

( 1

Inoltre è una terna destra perché si può rappresentare con la mano destra.

~k)

~k

~i)

~i ~j)

~j

· · ·

~a = (~a + (~a + (~a

rappresentazione cartesiana del vettore ~a

0.1.6 Prodotto vettoriale

Considero Si denisce:

~b 3

∈

~a, R ~b 3

∧ ∈

~a = ~c R

~b| ~b|

|~c

| |~a ∧ |~a ||

= = sin φ

Direzione di al piano formato da e ~b

~c :⊥ ~a

Verso: è una terna destra o regola della mano destra.

~b,

(~a, ~c

)

allora o oppure allora se e

~b ~b

∧

~a = 0 ~a = 0 = 0 sin φ = 0 φ = 0, π

0.2 Vettori variabili 9

soltanto se sono paralleli.

~b

~a,

~b ~b

∧ −~a ∧

~a = ~k

~i ~j ~k

~b ~i ~j

− −

∧ = (a b b a ) + (−a b + a b ) + (a b a b )

~a = a a a y z y z x z z x x y y x

x y z

b b b

x y z

0.1.7 Prodotto misto

Dati si chiama prodotto misto

~b, ~b)

3

∈ · ∈

∧

~c ~c

~a, (~a

R R

PROPRIETA'

~b ~b

∧ · · ∧

~a ~c = ~a ~c

0.2 Vettori variabili

3

7−→

~u : R R 3

∈ 7−→ ∈

t ~u (t)

R R

Se ssiamo allora ha senso parlare di:

∈

t R

0 lim ~u (t) = ~u 0

t→t

0

3

∈

~u R

0

Se e soltanto se: |~u − |

lim (t) ~u = 0

0

t→t

0

∈ 7−→ |~u − | ∈

t (t) ~u

R R

0

∀, ∃δ ∀t |t − | |~u − |

> 0, t.c. : t < δ => (t) ~u <

0 0

Se ~k

~i ~j

~u (t) = u (t) + u (t) + u (t)

x y z

10 INDICE

~k

~i ~j

~u = u + u + u

0 0x 0y 0z È 2 2 2

≤ |u − | ≤ |~u | − − −

0 u (t)~u = (u u ) + (u u ) + (u u )

x 0x 0 x 0x y 0y z 0z

allora per :

→

t t 0 8

>

> →

u (t) u

> x 0x

>

< → →

u (t) u <=> ~u

(t) ~u

y 0y 0

>

>

>

> →

: u (t) u

z 0z

0.2.1 Derivata di un vettore variabile

Con −

h = t t 0 −

~u (t + h) ~u (t )

d~u 0 0 3

∈

(t ) = lim R

0

dt h

h→0

Se esiste come vettore allora è la derivata di in

u t .

0

~k

~i ~j

~u (t) = u + u + u

x y z d~u du du

du y z

x ~

~ ~

i + j + k

=

t dt dt dt

composizione di vettori variabili

3

7−→ ∈

t ~u (s(t)) R d~u ds

d~u (s(t)) ·

=

dt ds dt

0.2.2 Punti variabili

Denisco: dP (t) d(P (t)−0)

3

∈ 7−→ ∈

t P (t) =

R R dt dt

3

7−→ ∈

t P (s(t)) R dP (s(t)) dP ds

·

=

dt ds dt

0.3 Applicazioni alle curve 11

0.2.3 Regole di calcolo delle derivate

variabile

∈

m R 3

7−→ ∈

t ~u (t) R

d dm d~u (t)

(m~u (t)) = ~u (t) + m (derivata di un prodotto)

dt dt dt

7−→ · ∈

t ~u (t) ~v (t) R ·

~u ~v ~u d~v

· ·

= ~v + ~u

dt dt dt

3

7−→ ∧ ∈

t ~u (t) ~v (t) R ∧

~u ~v ~u d~v

∧ ∧

= ~v + ~u

dt dt dt

2 2

→ |~u | ·

t u = = ~u ~u R

2 ·

~u ~u ~u d~u d~u

u · ·

= = ~u + ~u = 2~u

dt dt dt dt dt

Se è costante

|~u |

u = 2

du du d~u

·

= 0, =0 allora ~u =0

dt dt dt

Allora la derivata di un vettore a modulo costante è un vettore ortogonale a

quello dato.

d~

u

⊥

~u dt

Se (versore) allora d~

u

|~u | ⊥

= 1 ~u dt

0.3 Applicazioni alle curve

Sia data una curva in ssiamo un punto sulla curva stessa, che

3 O

R

chiameremo origine della coordinata curvilinea.

Fissiamo un verso sulla curva, che chiameremo verso degli archi crescenti o

12 INDICE

verso positivo.

Sia , lunghezza dell'arco ø

s > 0 s P O

Se allora:

0

s < 0 3

7−→ ∈

sR P (s) R − −

dP (s) d(P (s) O) P (s + h) P (s)

= = lim

ds ds h

h→0

Allora ho che:

Modulo: per questo perché il rapporto tra corda e

P (s+h)−P (s) → →

1 h 0

h

arco tende a 1

versore

dP (s) = 1

ds

Direzione: retta tangente alla curva nel punto P (s)

Verso: degli archi crescenti

dP (s) ~ 3

= t versore tangente positivo

R

ds

Il cerchio osculatore alla curva in è tangente in alla curva.

P (s) P (s)

d~t 2

(s) d P (s) 1

= = ~n

2

ds ds ρ C

con diretto al centro del cerchio osculatore, mentre è il raggio di curva-

~n ρ

C

tura del cerchio osculatore e è la curvatura in

1 P (s)

ρ C

centro del cerchio osculatore.

C =

Direzione ortogonale a ~t P (s)C

:

versore normale diretto verso

~n = C

2

d P (s) 1

= ~n

2

ds ρ C

Allora se pongo ~k

~i ~j

P (s) = x(s) + y(s) + z(s)

2 2 2

d x(s) d y(s) d z(s) 1

~

~ ~

i + j + k = ~n

2 2 2

ds ds ds ρ C

Allora il modulo di è uguale a:

2

d P (s)

2

ds

s 2 2 2

d x(s) d y(s) d z(s) 1

2 2 2

( ) + ( ) + ( ) =

2 2 2

ds ds ds ρ

C

0.3 Applicazioni alle curve 13

Allora: 1

ρ = q

C 2 2 2

d x(s) d y(s) d z(s)

2 2 2

( ) + ( ) + ( )

2 2 2

ds ds ds

Se rappresento una curva in modo parametrico avrò che:

γ 8

>

> x = x(s)

>

>

<

γ : y = y(s)

>

>

>

>

: z = z(s)

Se è una curva piana avrò che:

γ 8

> x = x(s)

<

>

: y = y(s)

y = f (x)

Conoscendo la cartesiana

f (x) 3

0 2

(1 + f (x) ) 2

ρ =

C 00

|f (x)|

0.3.1 Derivata di un versore rispetto all'angolo che for-

ma con un direzione assegnata passante per un

punto sso O

varia (variano direzione e verso) sso

|~r |

~r = 1

−

~r = P O

Si ssa un punto nello spazio e un semiasse avente origine in

O O

Allora descrive una sezione di circonferenza di raggio e angolo

P (θ) 1 θ

−

d~r (θ) d(P O)(θ) dP (θ) dP (s) ~h(θ)

~

= = = = t

(s) =

dθ dθ dθ ds

Perché ma allora

s = rθ r = 1 s = θ

d~h(θ) d~t

2

d ~r (θ) (s) 1 −~r

= = = ~n = ~n =

2

dθ dθ ds ρ C

14 INDICE

Perché in una circonferenza ρ = 1

C

8

> ~h(θ)

d~

r (θ) π

= (versore ~r ruotato di in senso antiorario)

< dθ 2

> d~

h(θ)

: −~r

= (θ) (versore ~r ruotato di π in senso antiorario)

dθ

0.4 Cinematica

Considero un punto materiale, è in moto se: ad ogni

∈ 7−→

t P = P (t)

R

istante associo la posizione del punto.

Conoscere il moto di equivale a conoscere la sua posizione in ogni istante,

P

allora se e soltanto se (equazione vettoriale del

− −

P = P (t) P O = P (t) O

moto) 8

>

> x = x(t)

>

>

<

∈ →

t y = y(t) equazioni cartesiane del moto

R >

>

>

>

: z = z(t) ~k

~i ~j

−

P (t) O = x(t) + y(t) + z(t)

Se conosco posso trovare allora

t(x, y) z = z(x, y) z = f (x, y)

Se conosciamo l'equazione della curva, posso utilizzare le coordinate curvili-

nee legge oraria del moto

s = s(t) 8

>

> P = P (t)

>

>

< P = P (s)

>

>

>

>

: s = s(t)

Allora ho che:

P = P (s(t))

Il graco della funzione è detto diagramma orario.

s = s(t)

Conoscere la legge oraria serve a capire la posizione di un corpo ad un dato

0.4 Cinematica 15

momento.

Si chiama velocità del punto : −O)

d(P

dP

P ~v (P ) = =

dt dt

~k

~i ~j

−

P (t) O = x(t) + y(t) + z(t) dx dy dz ~

~ ~ k

~v (P ) = i + j +

dt dt dt

Posso usare queste notazioni: df 0

= f (x)

dx

dx = ẋ(t)