Fisica II - appunti del corso - capitolo 6

Corrente stazionaria

Consideriamo un condensatore carico inizialmente alla differenza di potenziale, quindi fra i punti A e B è presente un campo elettrico E, tale che:

\( \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\Delta V \)

Supponiamo che ad un certo istante l'interruttore T venga chiuso, in modo che le due armature risultino collegate da un filo conduttore. Subito dopo la chiusura del circuito si osserva che:

• \(\Delta V\) (e quindi E) decresce rapidamente tendendo a zero;
• Tendono a zero le cariche sulle armature, come se le cariche positive si spostassero dall'armatura A verso la B andando ad annullare le cariche negative inizialmente presenti su di essa;
• Il filo conduttore si scalda.

Dal punto di vista delle cariche elettriche, tutto va come se una carica positiva si muovesse dall'armatura positiva verso quella negativa; in realtà sono gli elettroni a muoversi in senso inverso, ma convenzionalmente si prende come positivo il verso di moto dei portatori positivi di carica.

Quando si ha un movimento ordinato di cariche che si spostano da una posizione a un'altra, si usa dire che fra le due posizioni si è avuto un passaggio di corrente elettrica. La corrente è uno scalare che esprime la quantità di carica che attraversa una sezione del circuito nell'unità di tempo:

\( dq = i \, dt \)

Se con un opportuno dispositivo si realizza un d.d.p. costante nel tempo ai capi di un conduttore, una volta che la temperatura si è stabilizzata si osserva che nel conduttore è presente una corrente costante nel tempo e che non dà luogo ad accumulo di cariche; si dice che si è in regime di corrente stazionaria. Nel caso di correnti stazionarie, non potendo vi essere accumulo di cariche, la corrente è la stessa in tutte le possibili sezioni del conduttore.

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Definizione di corrente

Consideriamo un condensatore carico inizialmente alla differenza di potenziale, quindi fra i punti A e B è presente un campo elettrico E, tale che:

\( \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\Delta V \)

Supponiamo che ad un certo istante l'interruttore T venga chiuso, in modo che le due armature risultino collegate da un filo conduttore. Subito dopo la chiusura del circuito si osserva che:

• \(\Delta V\) (e quindi E) decresce rapidamente tendendo a zero;
• Tendono a zero le cariche sulle armature, come se le cariche positive si spostassero dall'armatura A verso la B andando ad annullare le cariche negative inizialmente presenti su di essa;
• Il filo conduttore si scalda.

Dal punto di vista delle cariche elettriche, tutto va come se una carica positiva si muovesse dall'armatura positiva verso quella negativa; in realtà sono gli elettroni a muoversi in senso inverso, ma convenzionalmente si prende come positivo il verso di moto dei portatori positivi di carica.

Quando si ha un movimento ordinato di cariche che si spostano da una posizione a un'altra, si usa dire che fra le due posizioni si è avuto un passaggio di corrente elettrica. La corrente è uno scalare che esprime la quantità di carica che attraversa una sezione del circuito nell'unità di tempo:

\( dq = i \, dt \)

Se con un opportuno dispositivo si realizza un d.d.p. costante nel tempo ai capi di un conduttore, una volta che la temperatura si è stabilizzata si osserva che nel conduttore è presente una corrente costante nel tempo e che non dà luogo ad accumulo di cariche; si dice che si è in regime di corrente stazionaria. Nel caso di correnti stazionarie, non potendo vi essere accumulo di cariche, la corrente è la stessa in tutte le possibili sezioni del conduttore.

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I legge di Kirchhoff

Se si applica una d.d.p. ai capi di un conduttore, dal punto di vista microscopico l'azione del campo elettrico attivo internamente al conduttore è quella di sovrapporre all'agitazione termica degli elettroni liberi un moto di deriva nella direzione del campo elettrico. Tale moto di deriva (ordinato) avviene con velocità media v_d che è molto minore della velocità disordinata v_T propria dell'agitazione termica e risulta che v_d ∝ E.

Consideriamo un conduttore all’interno del quale si abbiano n portatori di carica liberi per unità di volume, ciascuno di carica q. Le velocità di deriva sono parallele o antiparallele al campo E localmente presente nel conduttore, a seconda che q sia positivo o negativo. Le v_d costituiscono un campo vettoriale definito all’interno del conduttore di sezione S. Dentro il conduttore, consideriamo un tubo di flusso elementare del campo vettoriale v_d e sia dS una sezione di tale tubo elementare.

La quantità di carica dq che nel tempo dt passa attraverso la sezione dS è:

\( dq = n \cdot q \cdot \mathbf{v}_d \cdot d\mathbf{S} \cdot dt \)

dove dS rappresenta la proiezione di dS normalmente al tubo di flusso.

Alla quantità J = n \cdot q \cdot \mathbf{v}_d si dà il nome di densità di corrente; poiché \mathbf{v}_d è proporzionale a E, J è sempre parallelo a E.

Dalla (1), tenuto conto della (2), segue che la corrente che passa nel tubo di flusso elementare è:

\( dI = J \cdot d\mathbf{S} \)

Integrando su una intera sezione S del conduttore si ha per la corrente I che attraversa il conduttore:

\( I = \int_S J \cdot d\mathbf{S} \)

In condizioni stazionarie il flusso della densità di corrente attraverso una qualunque superficie chiusa S è nullo, di conseguenza in condizioni stazionarie la corrente che fluisce attraverso due qualunque sezioni di un tubo di flusso di v_d è la stessa. Possiamo generalizzare questo risultato al caso in cui più fili conduttori convergano in uno stesso punto (detto nodo): in condizioni stazionarie, la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma di quelle che ne escono (I legge di Kirchhoff).

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Densità di corrente

Se si applica una d.d.p. ai capi di un conduttore, dal punto di vista microscopico l'azione del campo elettrico attivo internamente al conduttore è quella di sovrapporre all'agitazione termica degli elettroni liberi un moto di deriva nella direzione del campo elettrico. Tale moto di deriva (ordinato) avviene con velocità media v_d che è molto minore della velocità disordinata v_T propria dell'agitazione termica e risulta che v_d ∝ E.

Consideriamo un conduttore all’interno del quale si abbiano n portatori di carica liberi per unità di volume, ciascuno di carica q. Le velocità di deriva sono parallele o antiparallele al campo E localmente presente nel conduttore, a seconda che q sia positivo o negativo. Le v_d costituiscono un campo vettoriale definito all’interno del conduttore di sezione S. Dentro il conduttore, consideriamo un tubo di flusso elementare del campo vettoriale v_d e sia dS una sezione di tale tubo elementare.

La quantità di carica dq che nel tempo dt passa attraverso la sezione dS è:

\( dq = n \cdot q \cdot \mathbf{v}_d \cdot d\mathbf{S} \cdot dt \)