Fisica II - appunti del corso - capitolo 4

Moto di una carica in un campo

Si consideri un campo elettrico arbitrario, rappresentato dalle linee di forza in figura, e una carica di prova q che si muove, lungo il percorso indicato in figura, dal punto iniziale al punto finale; in qualsiasi punto del percorso, sulla carica agisce una forza elettrostatica qE. Se consideriamo uno spostamento infinitesimo d, il lavoro infinitesimo dL compiuto dalla forza elettrostatica su q durante tale spostamento è:

dL = qE · ds

Il lavoro totale compiuto dal campo elettrico su q quando essa si sposta dal punto iniziale a quello finale è dato da:

∫L = q ∫E · ds

Tenendo presente che la differenza di potenziale tra i punti i e f è data da

ΔL = −Vf + Vi = −q

sostituendo in questa equazione l’espressione del lavoro totale trovata in precedenza, si ha:

−ΔV = −∫E · ds

Poiché la forza elettrostatica è una forza conservativa, il risultato è indipendente dal percorso.

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Superfici equipotenziali

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico è

ΔL = −Vf + Vi = −q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se Vf = Vi.

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il L = 0 percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale.

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E, che è sempre tangente a queste linee. Se E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione si deduce che se la superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi E deve essere perpendicolare alla superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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Carica puntiforme

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico è

ΔL = −Vf + Vi = −q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se Vf = Vi.

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il L = 0 percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale.

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E, che è sempre tangente a queste linee. Se E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione si deduce che se la superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi E deve essere perpendicolare alla superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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Dipolo

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico è

ΔL = −Vf + Vi = −q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se Vf = Vi.

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il L = 0 percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale.

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E, che è sempre tangente a queste linee. Se E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione si deduce che se la superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi E deve essere perpendicolare alla superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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Il campo elettrostatico è conservativo

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

E(r) = (1/(4πε₀)) · (Q/r²)

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare dl e integrando lungo una qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/(4πε₀r²)) · dl

Poiché il prodotto scalare è definito come r · dl = rdl cos(θ), tenendo conto che , si ha:

∫_A^B E · dl = (Q/(4πε₀)) · ∫_A^B dr/r² = (Q/(4πε₀)) · (1/r_B - 1/r_A)

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma, lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.

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Principio di sovrapposizione

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

E(r) = (1/(4πε₀)) · (Q/r²)

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare dl e integrando lungo una qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/(4πε₀r²)) · dl

Poiché il prodotto scalare è definito come r · dl = rdl cos(θ), tenendo conto che , si ha:

∫_A^B E · dl = (Q/(4πε₀)) · ∫_A^B dr/r² = (Q/(4πε₀)) · (1/r_B - 1/r_A)

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma, lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.

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Circuitazione del campo elettrico

Il campo elettrostatico è conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B, e vale:

∫_A^B E · dl = −(1/(4πε₀)) · (1/r_B - 1/r_A)

Ponendo V(r) = (1/(4πε₀)) · Q/r + C (con C costante arbitraria), si ha:

∫_A^B E · dl = −(V(A) - V(B))

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione:

V(x, y, z) = −∫_A^P E · dl + V(A)

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q. Tornando alla (1) possiamo dire che il lavoro fatto dalla forza elettrostatica, che agisce su una carica unitaria lungo lo spostamento AB, può essere espresso come differenza di valore che la funzione potenziale assume rispettivamente nei punti A e B. In particolare, se A coincide con B, qualunque sia la linea chiusa l scelta per l’integrale, si ha:

∫ E · dl = 0

dove con ∫ si intende l’integrale eseguito su una linea chiusa che viene detto circuitazione.

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Funzione potenziale

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

E(r) = (1/(4πε₀)) · (Q/r²)

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare dl e integrando lungo una qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/(4πε₀r²)) · dl

Poiché il prodotto scalare è definito come r · dl = rdl cos(θ), tenendo conto che , si ha:

∫_A^B E · dl = (Q/(4πε₀)) · ∫_A^B dr/r² = (Q/(4πε₀)) · (1/r_B - 1/r_A)

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Ponendo V(r) = (1/(4πε₀)) · Q/r + C (con C costante arbitraria), si ha:

∫_A^B E · dl = −(V(A) - V(B))

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione:

V(x, y, z) = −∫_A^P E · dl + V(A)

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

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Unità di misura

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

E(r) = (1/(4πε₀)) · (Q/r²)

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare dl e integrando lungo una qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/(4πε₀r²)) · dl

Poiché il prodotto scalare è definito come r · dl = rdl cos(θ), tenendo conto che , si ha:

∫_A^B E · dl = (Q/(4πε₀)) · ∫_A^B dr/r² = (Q/(4πε₀)) · (1/r_B - 1/r_A)

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Ponendo V(r) = (1/(4πε₀)) · Q/r + C (con C costante arbitraria), si ha:

∫_A^B E · dl = −(V(A) - V(B))

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione:

V(x, y, z) = −∫_A^P E · dl + V(A)

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q. Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle di un’energia diviso una carica elettrica; l’unità di misura nel sistema SI è detta Volt:

[Energia] = [Joule] ≡ [Volt] = [Carica] / [Coulomb]

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