42.Moto di una carica in un campo.
Si consideri un campo elettrico arbitrario, rappresentato dalle linee di forza in figura, e una carica
di prova q che si muove, lungo il percorso indicato in figura, dal punto iniziale al punto finale; in
0 r
qualsiasi punto del percorso, sulla carica agisce una forza elettrostatica q E . Se consideriamo uno
0
r , il lavoro infinitesimo dL compiuto dalla forza elettrostatica su q
spostamento infinitesimo d s 0
durante tale spostamento è: r r
= ⋅
dL q E d s
0
Il lavoro totale compiuto dal campo elettrico su q quando essa si sposta dal punto iniziale a quello
0
finale è dato da: r r
f
∫
= ⋅
L q E d s
0 i
Tenendo presente che la differenza di potenziale tra i punti i e f è data da
L
∆ = − = −
V V V
f i q 0
sostituendo in questa equazione l’espressione del lavoro totale trovata in precedenza, si ha:
r
f
∫
− = − ⋅
V V E d s
f i i
Poiché la forza elettrostatica è una forza conservativa, il risultato è indipendente dal percorso.
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43.Superfici equipotenziali
Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo
potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico
è L
∆ = − = −
V V V (1)
f i q
si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il
=
campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .
f i
La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal
=
percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il
L 0
percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r
Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è
r
E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso
sempre tangente a queste linee. Se
avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla
superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la
r
E deve essere perpendicolare alla
superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi
superficie in ogni punto.
Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici
equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.
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44.Carica puntiforme.
Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo
potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico
è L
∆ = − = −
V V V (1)
f i q
si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il
=
campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .
f i
La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal
=
percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il
L 0
percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r
Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è
r
E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso
sempre tangente a queste linee. Se
avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla
superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la
r
E deve essere perpendicolare alla
superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi
superficie in ogni punto.
Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici
equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.
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45.Dipolo.
Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo
potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico
è L
∆ = − = −
V V V (1)
f i q
si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il
=
campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .
f i
La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal
=
percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il
L 0
percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r
Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è
r
E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso
sempre tangente a queste linee. Se
avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla
superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la
r
E deve essere perpendicolare alla
superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi
superficie in ogni punto.
Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici
equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.
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46.Il campo elettrostatico è conservativo.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r r r
1 Q
=
( ) r (1)
E r πε
0 3
4 r
0 r
Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una
d l
qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:
r r
r r
1 Q
∫ ∫
B B
⋅ = ⋅
E d l r d l
πε
0 3
4 r
A A 0
r
r ⋅ θ = θ
Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:
r d l rdl cos dr dl cos
r
B
r
1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1
B B B
∫ ∫ ∫ = −
⋅ = = = −
r d l rdr
πε πε πε πε πε
3 3 2
4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r
A A A
0 0 0 0 0
A A B
Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo
conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e
B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.
Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma,
lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.
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47.Principio di sovrapposizione.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r r r
1 Q
=
( ) r (1)
E r πε
0 3
4 r
0 r
Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una
d l
qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:
r r
r r
1 Q
∫ ∫
B B
⋅ = ⋅
E d l r d l
πε
0 3
4 r
A A 0
r
r ⋅ θ = θ
Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:
r d l rdl cos dr dl cos
r
B
r
1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1
B B B
∫ ∫ ∫ = −
⋅ = = = −
r d l rdr
πε πε πε πε πε
3 3 2
4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r
A A A
0 0 0 0 0
A A B
Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo
conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e
B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.
Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma,
lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.
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48.Circuitazione del campo elettrico.
Il campo elettrostatico è conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B
dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B, e
vale:
r
r Q 1 1
∫ B ⋅ = −
E d l πε
0 4 r r
A 0 A B
Q
1
= + C
Ponendo V r
( ) (con C costante arbitraria), si ha:
πε
0 r
4 0 r
r
B
∫ ⋅ = − (1)
E d l V ( A
) V ( B )
0 0 0
A
Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z
di una traiettoria, si ha la funzione: r
r
P
∫
= − ⋅ +
V ( x
, y , z ) E d l V ( A
)
0 0 0
A
detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.
Tornando alla (1) possiamo dire che il lavoro fatto dalla forza elettrostatica, che agisce su una
carica unitaria lungo lo spostamento AB, può essere espresso come differenza di valore che la
funzione potenziale assume rispettivamente nei punti A e B.
In particolare, se A coincide con B, qualunque sia la linea chiusa l scelta per l’integrale, si ha:
r
r
∫ ⋅ =
E d l 0
0
∫
dove con si intende l’integrale eseguito su una linea chiusa che viene detto circuitazione.
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49.Funzione potenziale.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r r r
1 Q
=
( ) r (1)
E r πε
0 3
4 r
0 r
Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una
d l
qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:
r r
r r
1 Q
∫ ∫
B B
⋅ = ⋅
E d l r d l
πε
0 3
4 r
A A 0
r
r ⋅ θ = θ
Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:
r d l rdl cos dr dl cos
r
B
r
1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1
B B B
∫ ∫ ∫ = −
⋅ = = = −
r d l rdr
πε πε πε πε πε
3 3 2
4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r
A A A
0 0 0 0 0
A A B
Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo
conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e
B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.
1 Q
= +
Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:
πε
0 4 r
0 r
r
B
∫ ⋅ = −
E d l V ( A
) V ( B )
0 0 0
A
Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate
x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: r
r
P
∫
= − ⋅ +
V ( x
, y , z ) E d l V ( A
)
0 0 0
A
detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.
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50.Unità di misura.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r r r
1 Q
=
( ) r (1)
E r πε
0 3
4 r
0 r
Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una
d l
qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:
r r
r r
1 Q
∫ ∫
B B
⋅ = ⋅
E d l r d l
πε
0 3
4 r
A A 0
r
r ⋅ θ = θ
Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:
r d l rdl cos dr dl cos
r
B
r
1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1
B B B
∫ ∫ ∫ = −
⋅ = = = −
r d l rdr
πε πε πε πε πε
3 3 2
4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r
A A A
0 0 0 0 0
A A B
Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo
conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e
B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.
1 Q
= +
Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:
πε
0 4 r
0 r
r
B
∫ ⋅ = −
E d l V ( A
) V ( B )
0 0 0
A
Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate
x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: r
r
P
∫
= − ⋅ +
V ( x
, y , z ) E d l V ( A
)
0 0 0
A
detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.
Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle di un’energia diviso una carica elettrica;
l’unità di misura nel sistema SI è detta Volt:
[ ]
[ ] Energia Joule
= = ≡
V Volt
[ ]
Carica Coulomb
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51.Campo dal potenziale.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r r r
1 Q
=
( ) r (1)
E r πε
0 3
4 r
0 r
Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una
d l
qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:
r r
r r
1 Q
∫ ∫
B B
⋅ = ⋅
E d l r d l
πε
0 3
4 r
A A 0
r
r ⋅ θ = θ
Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:
r d l rdl cos dr dl cos
r
B
r
1 Q 1 Q
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