Fisica I – Appunti

FISICA I

(docente Maria Adele Dodero)

Testo di riferimento

Fisica 1 (Raymond A. Serway)

Lezione 1 (22 settembre 1999)

Introduzione al corso: prerequisiti richiesti, programma, modalità d'esame, ecc.…

Lezione 2 (27 settembre 1999)

“scienza sperimentale”.

La fisica è una

Le sue leggi sono infatti state “verificate” tramite degli opportuni esperimenti (riproducibili da

chiunque si ponga nelle condizioni idonee).

Per studiare un fenomeno fisico occorre prima di tutto effettuare una osservazione di tipo

“qualitativo” (es. “un corpo privato di sostegno cade verso terra”), poi occorre considerare quali

“grandezze fisiche” caratterizzano il fenomeno (es. “velocità”, “massa”, ecc.), in quale “misura” e

in che modo queste grandezze interagiscono fra loro.

Misura di grandezze fisiche

Misurare una grandezza fisica significa effettuare un “confronto” fra la grandezza da misurare e un

“campione”, opportunamente scelto, in modo da stabilire una corrispondenza univoca tra la

grandezza stessa e un “numero” che ne rappresenta la “misura” nell’unità di misura prescelta.

Una misura ha significato solo se si specifica l’unità di misura presa in considerazione.

N.B.

Dal momento che la precisione di una misura è sempre limitata (dipende dalla precisione dello

strumento utilizzato, dalla tecnica con la quale si esegue la misura e dalla possibilità, sempre

presente di errori accidentali) bisognerebbe sempre associare, ad ogni misura, il relativo “errore”.

Leggi fisiche

Definire una “legge fisica” significa individuare le relazioni che legano fra loro le varie grandezze

fisiche che compaiono nel fenomeno.

N.B. Dal momento che tutte le misure delle grandezze effettuate contengono degli errori il

risultato ottenuto con l’applicazione della legge fisica conterrà a sua volta degli errori (in

base alla “legge di propagazione degli errori”).

Visto che, in base a quanto detto sopra, le grandezze fisiche non sono “indipendenti”, ma collegate

fra loro, è possibile scegliere un numero minimo di grandezze fisiche indipendenti ed esprimere

tutte le altre in funzione di quelle prescelte.

Nel campo della “fisica meccanica” sono state scelte tre grandezze fisiche indipendenti

fondamentali: lunghezza, massa e tempo (indicati rispettivamente con L, M e T).

Per quantificare queste grandezze si utilizzano comunemente le unità di misura del Sistema

Internazionale (S. I.) e cioè il metro (m.), il chilogrammo (Kg.), e il secondo (s.).

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 1

In precedenza venivano utilizzati anche altri due “sistemi di misura”:

 il sistema M. K. s. (cioè metro, chilogrammo e secondo)

 il sistema c. g. s. (cioè centimetro, grammo e secondo)

Il S. I. si differenzia dal sistema M. K. s. in quanto comprende anche l’unità di misura di una

Nota quarta grandezza fisica fondamentale (presente nello studio dell’elettromagnetismo):

l’intensità di corrente che viene misurata in ampere (A.).

Equazioni dimensionali

Di ogni grandezza fisica è possibile dare una “equazione dimensionale”, cioè un’equazione che

esprima la grandezza fisica presa in considerazione in “funzione” di L, M e T.

Esempi

 la velocità è una grandezza fisica derivata che si esprime in funzione dello spazio percorso e

dx 

1

del tempo impiegato:   

v da cui : [ v ] [ L T ]

dt dv

  2

l’accelerazione, a sua volta, può essere ricavata dalla velocità:   

a da cui : [ a ] [ L T ]

dt

Nella formulazione di una “legge fisica” bisogna tenere conto della “omogeneità dimensionale”,

cioè le equazioni dimensionali dei due membri dell’equazione che esprime la legge stessa devono

essere equivalenti (in caso contrario significa che sono presenti degli errori).

2 -2 2

 

Esempio: h(t) = h - ½gt [L] = [L] - [L T ] T [L] = [L]

0 è un numero e, quindi, “adimensionale”

(da notare che il valore ½

)

Grandezze fisiche “scalari” e “vettoriali”

Le grandezze fisiche possono essere di due tipi:

 sono le grandezze per le quali è sufficiente conoscerne il valore nell’unità di misura

scalari prescelta (es. tempo, temperatura, ecc.);

 sono le grandezze individuate tramite l’utilizzo di un “vettore”, cioè quelle grandezze

vettoriali per le quali occorre definire, oltre al modulo, anche una direzione e un verso (es.

velocità, spostamento, accelerazione, ecc.).

C I N E M A T I C A

La cinematica è la parte della fisica che studia il movimento dei corpi (senza però occuparsi delle

cause che hanno prodotto il movimento stesso, che sono invece oggetto di studio della “dinamica”).

Cinematica del punto

Per studiare il movimento di un corpo è necessario avere a disposizione:

 un sistema di “coordinate spaziali” (es. (x,

coordinate cartesiane y, z) con i versori

associati );

( i , j , k )

 un “orologio” (per misurare gli intervalli di tempo).

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 2

Studiare il movimento di un corpo significa, infatti, studiare la sua posizione, nelle coordinate

considerate, rispetto al tempo.

Un oggetto è considerato un “punto materiale” quando le sue dimensioni possono essere trascurate,

cioè quando le sue dimensioni sono molto più piccole (come ordine di grandezza) rispetto alle

dimensioni del problema che sto considerando.

Non è quindi importante considerare le dimensioni “assolute” dell’oggetto considerato, ma le sue

dimensioni “relative” all’interno del contesto preso in esame.

Moti unidimensionali (moto rettilineo)

utilizzare un solo asse coordinato (ad esempio l’asse

Nello studio del moto rettilineo è sufficiente

x). In questo caso le grandezze vettoriali (spostamento, velocità e accelerazione) avranno la stessa

direzione del versore del “modulo”.

. Possiamo quindi effettuare i calcoli tenendo conto solo

i

0 x

x x

1 2

Supponiamo che sia: x = posizione dell’oggetto all’istante t

1 1

= posizione dell’oggetto all’istante t

x

2 2

Definiamo “spostamento” del corpo lo spazio percorso dallo stesso nell’intervallo di

Definizione: tempo ( ) e lo indichiamo con .

     

t t t x x x

2 1 2 1

) se si tratta di un “moto progressivo”, cioè che

Questo spostamento può essere positivo (x > x

2 1

avviene nello stesso verso di “moto regressivo”.

, oppure negativo (x < x ) se si tratta di un

i 2 1

Definizione: Definiamo “velocità media” di un corpo il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo



x

impiegato a percorrerlo: .

 

v v

m  t

La velocità media non fornisce però un’informazione “reale”, ma solo un’indicazione “media”.

Per ottenere informazioni più precise occorre restringere gli intervalli di tempo considerati.

Supponendo di arrivare a intervalli di tempo infinitesimali otteniamo:

 x dx

Definizione: “Velocità istantanea”:  

v lim 

t dt

 

t 0

= velocità dell’oggetto all’istante t

Supponiamo ora che sia: v

1 1

= velocità dell’oggetto all’istante t

v

2 2



v

“Accelerazione media”: v

Definizione: (con = v - v )

 

a a 2 1

m 

t

Come nel caso della velocità media, anche l’accelerazione media non fornisce un’informazione

reale. Per ottenere informazioni più precise occorre, anche in questo caso, restringere gli intervalli

di tempo considerati. Supponendo quindi di arrivare a intervalli di tempo infinitesimali otteniamo:

2



v dv d x

Definizione: “Accelerazione istantanea”: .

  

a lim 2

 t dt

 

t 0 dt

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 3

Possiamo considerare due tipi di “moto rettilineo”:

a) Il moto rettilineo uniforme

b) Il moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel primo caso la velocità si mantiene costante (sia in modulo che in direzione e verso) e quindi

l’accelerazione è uguale a zero.

Questo è l’unico caso nel quale ciò è possibile. Infatti, negli altri casi, pur non variando il modulo, il

vettore velocità non può essere costante in quanto varia la direzione e/o il verso e, di conseguenza,

l’accelerazione è sempre diversa da zero.

Considerando quindi che v = v e a = 0, calcoliamo la “equazione oraria del moto”, cioè la

0

posizione dell’oggetto in funzione del tempo e della sua posizione iniziale:

dx integrando ambo i membri (con “c” costante

 

     

       

    

v v v dx v dt dx v dt x v t c

0 0 0 0 0

dt

arbitraria).

La costante arbitraria “c” deve essere valutata sulla base delle “condizioni iniziali”. Se infatti,

nell’equazione ottenuta, poniamo “t = 0”, otteniamo “x = c”. In pratica la costante rappresenta la

posizione dell’oggetto nell’istante t iniziale.

, cioè nell’istante

0

Chiamando x la posizione iniziale dell’oggetto otteniamo quindi la seguente equazione oraria del

0

moto rettilineo uniforme: x = x + v t.

0 0

Nel caso del moto rettilineo uniformemente accelerato, invece, è l’accelerazione a mantenersi

costante. Operando in modo analogo al precedente possiamo quindi calcolare la relativa equazione

oraria in funzione del tempo e della posizione e velocità iniziale di un oggetto:

dv integrando ambo i membri (con v = velocità

 

     

      



    

a a a dv a dt dv a dt v a t v 0

0 0 0 0 0 0

dt

iniziale). dx , possiamo sostituire questo valore nell’equazione precedente ottenendo:

Dal momento che 

v dt

dx 1

integrando ambo i membri 2

  

     

      



      

v a t dx v dt a t dt dx v dt a t dt x c v t at

0 0 0 0 0

dt 2

la posizione iniziale dell’oggetto otteniamo l’equazione oraria del moto

Chiamando nuovamente x

0 2

rettilineo uniformemente accelerato: x = x + v t + ½ a t .

0 0

Lezione 3 (28 settembre 1999)

Riepilogo lezione precedente: 

Moto rettilineo uniforme: a = 0 v = cost.  

x x v t

0 0

accelerazione velocità spostamento

a v x x = x + v t

0 0

v = v (

0 v > 0)

x 0

a = 0

t t t

O O O

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 4

1

 2

Moto rettilineo uniformemente accelerato: a = cost v = v + at   

x x v t at

0 0 0 2

accelerazione velocità spostamento

x

a v 2

x = x + v t+½at

v = v + a t 0 0

0 0

a = a (a (a

0 > 0) > 0)

v x

0 0

t t t

O O O

Prendendo in considerazioni le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato è possibile

esprimere la relazione tra lo spostamento e i valori di accelerazione, velocità iniziale e velocità

finale (eliminando dall’equazione la variabile “tempo”) nel seguente modo:



v v

 0

Dall’equazione possiamo ricavare:

  

v v at t

0 a 1

 2

Sostituendo questo valore di “t” nell’equazione si ottiene:

  

x x v t at

0 0 2

2 2 2 2 2

2

  2

      

v v v v v v v v v 2 v v v v v v v v

1 1 1 v 1

     

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

          

x x v a a

   

0 0  

2

a 2 a a a 2 a a 2 a 2 a a

a

     

2

2 

v v 0

Quindi possiamo affermare che:  

x x 0 2 a

Osservazione

Occorre tenere presente che alcune delle grandezze fisiche considerate sono in realtà delle

grandezze vettoriali. Finora abbiamo indicato solo i moduli di tali grandezze in quanto, trattandosi

di un moto “rettilineo” non si hanno cambiamenti di direzione o verso dei relativi vettori.

In effetti però sarebbe più esatto indicare le grandezze considerate nel seguente modo:

Spostamento lungo l’asse delle x:   

x i x

 x dx

Velocità media: Velocità istantanea:

 

v i v

m 

t dt 2

 v dv d dx d v

 

Accelerazione media: Accelerazione istantanea:

   

a i a i i i

 

m 2



t dt dt dt

  dt

Caduta libera dei gravi

Un oggetto posto in vicinanza della superficie terrestre è sottoposto ad un’accelerazione g, diretta

secondo la verticale del luogo, che prende il nome di “accelerazione di gravità” e ha un valore di

2

circa 9,8 m/s . g Nota

Supponiamo il vettore g costante in modulo, direzione e verso.

In realtà questi vettori non sono paralleli, ma puntano verso il centro della

TERRA Terra (vedi disegno a lato).

Tuttavia, se si prende in considerazione una superficie molto piccola (in

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 5

relazione al raggio della Terra), è possibile considerare tali vettori

paralleli, trascurando la curvatura della superficie considerata.

In realtà anche il modulo del vettore g non è costante, bensì varia in base alla distanza. Anche in

questa caso è comunque possibile considerare questo valore costante per distanze molto piccole

rispetto al raggio terrestre.

L’accelerazione di gravità è una costante valida per ogni corpo in modo del tutto indipendente

N.B. dalla sua “massa”: due corpi lasciati cadere nel vuoto cadono esattamente alla stessa velocità.

differenze di velocità osservate nella vita quotidiana sono dovute alla “resistenza”

(Le

esercitata dall’aria).



Caduta di gravi Moto uniformemente accelerato

v =0 y = altezza iniziale

0 0

y 2 

g = 9,8 m/s ( a = - j)

  

g j 9 ,

8

y g

0    

v v gt gt

0 1 1

2 2

    

y y v t gt y gt (*)

0 0 0

j 2 2

t

O 2 y

1 2 0

nell’equazione (*):

Il tempo di caduta si ricava ponendo y = 0 .

  

y gt 0 da cui : t

0 2 g

è possibile calcolare la velocità dell’oggetto quando tocca il suolo:

Conoscendo t .

 

v gt 2 y g

f 0

Nota: trasformazione tra km/h e m/s km

 

v  

3  3



1 Km 10 m km 10 m v m m h km m

      

     

 e

    

v v v v v 3

, 6

         

 3

3 h 3

, 6 s s 3

,

6 h s

      

3

,

6 10 s

   



 

1 h 3

,

6 10 s 

Moti curvilinei r  posizione del punto materiale all’istante t

1 1

r  posizione del punto materiale all’istante t

2 2

y s  spostamento della particella lungo la traiettoria

r persa l’informazione relativa alla traiettoria

(viene

r s effettiva)

r 1 

r traiettoria effettiva compiuta dal punto materiale

2 x   r

   

r r r

2 1  

v

 m  t



  

t t t

z 2 1

Per avere informazioni più dettagliate occorre “restringere” l’intervallo di tempo t.

– http://informatici.altervista.org

Appunti trovati in rete scaricati da Quelli di Informatica 6

 r d r  

dr ds (spostamento infinitesimo lungo la traiettoria)

 

v lim  t d t

 

t 0

La velocità istantanea ha direzione “tangente” alla traiettoria nel punto considerato.

Possiamo pensare di scomporre il vettore velocità indicandone separatamente il “modulo” e la

“direzione”. Per far questo utilizziamo un “versore” u per indicare la direzione e il verso di v.

t d r dr ds

Riscriviamo quindi la formula di v nel seguente modo: .

    

v u u

t t

dt dt dt

Un moto curvilineo è sempre “accelerato” in quanto la velocità varia sempre. Infatti anche

N.B. quando il modulo resta costante, varia comunque la direzione.

L’accelerazione v  velocità del punto all’istante t

1 1

v  velocità del punto all’istante t

v

2 2

2

a m

v 1   v

   

v v v

2 1  

a

 m  t



  

t t t

2 1

Da notare che la direzione del vettore accelerazione è

diretta sempre verso l’interno della curva.

caso, per avere informazioni più dettagliate occorre “restringere” l’intervallo t.

Anche in questo  v d v

Si ottiene così l’accelerazio