Fisica I – Appunti

Moto circolare uniforme

Rappresenta il moto di un punto materiale che oscilla da “- x ” a “x ”.

In questo caso la ω prende il nome di “pulsazione del moto armonico”.

Si ottiene un risultato analogo considerando le proiezioni sull’asse y: y = y θsen (ω t + φ)

Definiamo “periodo” (che indichiamo con “ T ”) il tempo impiegato dalla particella ad effettuare un movimento periodico completo (da - x a x e ritorno).

tempo impiegato per compiere un intero giro (moto circolare) T per compiere un’oscillazione completa (moto tempo impiegato oscillatorio) θ π/2 θ = ω =

Se il moto è uniforme, si ha: t , cioè: t da cui otteniamo: T=ω ω1

Definiamo “frequenza” (che indichiamo con “ f ”) l’inverso del periodo: f = T

La frequenza indica quanti giri (nel caso di moto circolare) o quante oscillazioni complete (nel caso-1 di moto oscillatorio) vengono effettuate in un secondo. Si misura in

“hertz” (1 Hz = 1 s).

Poniamo θ = 0 e consideriamo x = x cos (ω t + θ).

(il corpo parte alla massima distanza dall'origine).

Per t = 0 abbiamo x = x₀.

Consideriamo ora la velocità: v = -ω x sen(ω t).

La quantità “-ω” prende il nome di “ampiezza della velocità” e dipende dall'ampiezza x₀ dell'oscillazione (x ω) e dalla pulsazione del moto armonico (ω).

x = x₀ cos(ω t)

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a = -ω² x

L'accelerazione è proporzionale allo spostamento x, quindi anche la forza che causa l'accelerazione dovrà essere proporzionale a x. Inoltre questa forza tende a riportare l'oggetto nella posizione di “equilibrio” centrale. Per questo viene definita come

“forza di richiamo”. Equazione differenziale del moto armonico: ²d²x/dt² = -ω²x, possiamo dire che un’equazione differenziale del secondo ordine del tipo ²d²x/dt² + ω²x = θx avrà come soluzione: x = x₀cos(ωt + θ).

RELATIVITA’ GALILEIANA

Ci poniamo il problema di come legare le varie grandezze fisiche nei diversi sistemi di riferimento. Ogni fenomeno, infatti, “appare” in modo diverso in base al sistema di riferimento considerato. La “relatività galileiana” si basa su due postulati fondamentali:

1. Gli intervalli di tempo sono gli stessi, misurati nei diversi sistemi di riferimento (Δt = Δt’);
2. Le lunghezze sono uguali, misurate in tutti i sistemi di riferimento (l = l’).

Queste considerazioni sono valide solo per oggetti che abbiano una velocità molto inferiore a quella della luce (fino a un valore < 0,1-0,2 C con C = velocità della luce = c).

1. 3 10 m/s).r = vettore di posizione del punto P nel sistema di riferimento "o"
2. r' = vettore di posizione del punto P nel sistema di riferimento "o'"
3. r = distanza fra le origini dei due sistemi di riferimento (non costante)
4. o = x'
5. o' = x
6. v = velocità relativa: di quanto si sposta, nel'unità di tempo, l'origine "o'" rispetto a "o"
7. dr = dr' + d
8. Per la regola della somma fra vettori si ha: quindi: (o'o) da cui: v = v' + v
9. r = R
10. dt = dt'
11. v' = velocità nel sistema di riferimento "o"
12. e = velocità nel sistema di riferimento "o'"

Per quanto riguarda l'accelerazione possono verificarsi due diversi casi:

1. Il sistema "o'" si muove con velocità uniforme v rispetto al sistema "o"

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sistema oR   d v d vd v d v ' R R  da cui, visto che 0 si ricava: a a 'dt dt dt dt

Nei due sistemi si ha la stessa “legge del moto”.

2. Il sistema o’ si muove rispetto al sistema o con velocità v non costanteR     d vd v d v R    da cui otteniamo: a a a Rdt dt dt

L’accelerazione non è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Nel sistema di riferimento o’possono esserci delle accelerazioni dipendenti da che vengono chiamate anche “accelerazionia Rfittizie” in quanto non provocate dall’azione di nessuna forza (v. esempio del tram che frena).

Lezione 6 (11 ottobre 1999)

Le trasformazioni di Galileo furono messe in crisi da esperimenti effettuati nell’Ottocento con iquali si dimostrò che la luce si propaga nel vuoto sempre alla stessa velocità in qualunque sistemadi riferimento. L’errore è dovuto proprio ai due postulati.

Ad altissime velocità (prossime a quelle della luce) si ha una "dilatazione dei tempi" e una "contrazione delle lunghezze".

DINAMICA

La dinamica è la parte della fisica che studia le cause che producono il movimento dei corpi.

Le leggi della dinamica di Newton

La dinamica classica (di Newton) si basa sull'ipotesi che la massa inerziale di un corpo sia costante (indipendentemente dalla sua velocità). In realtà, secondo la teoria relativistica, la massa di un corpo dipende dalla sua velocità nel seguente modo:

m = m₀ / √(1 - v²/c²)

Se poniamo v = 0,1c otteniamo:

m = m₀ / √(1 - 0,1²) ≈ m₀

Risulta quindi evidente che, per valori molto inferiori alla velocità della luce, è possibile considerare la massa come se fosse costante e applicare le leggi della dinamica di Newton.

Risulta evidente, tanto dal grafico quanto dalla formula,

Il motivo per il quale nessun corpo può essere accelerato ad una velocità pari a quella della luce è dovuto al fatto che, se la velocità di un corpo raggiungesse la velocità della luce, il denominatore della frazione che rappresenta la massa si annullerebbe, facendo tendere la massa all'infinito.

La dinamica classica si occupa di scoprire le cause che determinano l'accelerazione nei corpi, causando il loro movimento o, al contrario, arrestandone il moto. Queste cause prendono il nome di forze e sono determinate dalle interazioni tra i corpi.

Le tre leggi della dinamica di Newton sono:

1. Principio d'inerzia: un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme fino a che non intervenga una causa (forza) esterna a modificarlo.
2. Seconda legge di Newton: la forza applicata su un corpo è direttamente proporzionale all'accelerazione che essa produce.
3. Terza legge di Newton: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

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rettilineo e uniforme) rispetto ad esso sono